Докажи подобие \(\triangle DBD_1\) и \(\triangle ABC\) и найди \(DD_1\), если \(AC = 12\) см.

1. а) Рассмотрим треугольники $\triangle DBD_1$ и $\triangle ABC$. $\angle B$ – общий. $DD_1 \parallel AC$ (по условию), следовательно, $\angle BDD_1 = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $DD_1$ и $AC$ и секущей $AB$. Таким образом, $\triangle DBD_1 \sim \triangle ABC$ по двум углам. б) Так как $\triangle DBD_1 \sim \triangle ABC$, то $\frac{DD_1}{AC} = \frac{BD}{BA}$. По условию $BD:BA = 1:4$ и $AC = 12$ см. Тогда: $\frac{DD_1}{12} = \frac{1}{4}$ $DD_1 = \frac{12}{4} = 3$ см. **Ответ:** $DD_1 = 3$ см. 2. Прямые $a$ и $b$ параллельны и лежат в плоскости $\gamma$. Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$, а плоскость $\beta$ проходит через прямую $b$. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$. Нужно доказать, что $c \parallel \gamma$. Доказательство: Предположим, что прямая $c$ не параллельна плоскости $\gamma$. Тогда она пересекает плоскость $\gamma$ в некоторой точке $M$. Так как прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$, то точка $M$ также лежит в плоскости $\alpha$. Аналогично, так как прямая $c$ лежит в плоскости $\beta$, то точка $M$ также лежит в плоскости $\beta$. Таким образом, точка $M$ является общей для плоскостей $\alpha$ и $\gamma$, а также для плоскостей $\beta$ и $\gamma$. Это означает, что точка $M$ лежит на линии пересечения плоскости $\gamma$ с плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Линией пересечения плоскости $\gamma$ и плоскости $\alpha$ является прямая $a$, а линией пересечения плоскости $\gamma$ и плоскости $\beta$ является прямая $b$. Следовательно, точка $M$ лежит одновременно на прямых $a$ и $b$. Но это невозможно, так как $a$ и $b$ — параллельные прямые, и они не могут иметь общих точек. Полученное противоречие показывает, что наше предположение о том, что прямая $c$ не параллельна плоскости $\gamma$, неверно. Следовательно, прямая $c$ параллельна плоскости $\gamma$, что и требовалось доказать.