Реши задачи по геометрии из контрольной работы: найди угол OMP, углы трапеции, стороны параллелограмма, углы трапеции и длину AM.

1. Рассмотрим прямоугольник $MNKP$. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, $OM = ON$. Тогда треугольник $MON$ равнобедренный, и углы при его основании равны: $\angle OMN = \angle ONM$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, значит $\angle OMN = \angle ONM = (180^\circ - \angle MON) / 2 = (180^\circ - 64^\circ) / 2 = 116^\circ / 2 = 58^\circ$. Так как $\angle OMP + \angle OMN = 90^\circ$ (угол прямоугольника), то $\angle OMP = 90^\circ - 58^\circ = 32^\circ$. **Ответ: $\angle OMP = 32^\circ$** 2. Пусть один из углов равнобедренной трапеции равен $x$, тогда другой угол равен $x + 30^\circ$. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Рассмотрим два случая: a) $x + x + 30^\circ = 180^\circ$, тогда $2x = 150^\circ$, $x = 75^\circ$. Углы трапеции: $75^\circ, 75^\circ, 105^\circ, 105^\circ$. б) $x + 30^\circ + x + 30^\circ = 180^\circ$, тогда $2x + 60^\circ = 180^\circ$, $2x = 120^\circ$, $x = 60^\circ$. Углы трапеции: $60^\circ, 90^\circ, 60^\circ, 90^\circ$. Но это не равнобедренная трапеция, а прямоугольник. **Ответ: $75^\circ, 75^\circ, 105^\circ, 105^\circ$** 3. Пусть одна сторона параллелограмма $3x$, тогда другая $x$. Периметр параллелограмма равен $2(3x + x) = 8x = 40$ см, значит $x = 5$ см. Стороны параллелограмма: $3x = 15$ см и $x = 5$ см. **Ответ: 15 см, 5 см** 4. В прямоугольной трапеции один угол равен $90^\circ$. Пусть углы при одной из боковых сторон $x$ и $x + 48^\circ$. Тогда $x + x + 48^\circ = 180^\circ$, $2x = 132^\circ$, $x = 66^\circ$. Углы трапеции: $90^\circ, 90^\circ, 66^\circ, 114^\circ$. **Ответ: $90^\circ, 90^\circ, 66^\circ, 114^\circ$** 5. Допущение: Угол при вершине $A$ равен $30^\circ$. В ромбе $ABCD$ высота $BM$ образует со стороной $AB$ угол $30^\circ$. Значит, $\angle ABM = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABM$ угол $\angle BAM = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Так как $ABCD$ ромб, то $\angle BAD = \angle BCD = 60^\circ$ и $\angle ABC = \angle ADC = 120^\circ$. Диагональ $AC$ ромба является биссектрисой угла $\angle BCD$, значит $\angle BCA = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $BOC$ (где $O$ - точка пересечения диагоналей) $BO = AC / 2 * tg(30^\circ) = 3 * \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ см. Диагонали ромба перпендикулярны, значит треугольник $ABO$ прямоугольный. Тогда $AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см. $AM = AB = 2\sqrt{3}$ см, так как треугольник $ABM$ равнобедренный. **Ответ: $AM = 2\sqrt{3}$ см**