Реши задачи по геометрии из варианта 1: найди площадь треугольника, сторону, определи тип треугольника и найди радиус окружности.

1. Площадь треугольника можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma)$, где $a$ и $b$ - стороны треугольника, $\gamma$ - угол между ними. В нашем случае, $a = 6\sqrt{2}$ см, $b = 8\sqrt{2}$ см, $\gamma = 30^\circ$. Тогда: $S = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 24 \cdot 2 = 48$ см$^2$. 2. По теореме синусов: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$. Нам нужно найти сторону $BC$, обозначим её за $a$. Дано: $\angle A = 30^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, $AB = c = 7\sqrt{2}$ см. Сначала найдем $\angle B$: $\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$. Теперь используем теорему синусов: $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$ => $a = \frac{c \cdot \sin A}{\sin C} = \frac{7\sqrt{2} \cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{7\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 7$ см. 3. По теореме косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)$, где $c$ - сторона $BA$, $a = BC = 5$ см, $b = AC = 7\sqrt{3}$ см, $\gamma = \angle C = 30^\circ$. Тогда: $BA^2 = 5^2 + (7\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ) = 25 + 147 - 70\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 172 - 70 \cdot \frac{3}{2} = 172 - 105 = 67$ => $BA = \sqrt{67}$ см. 4. Пусть $a = 7$ см, $b = 10$ см, $c = 13$ см. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для прямоугольного треугольника: $a^2 + b^2 = c^2$? $7^2 + 10^2 = 49 + 100 = 149$, $13^2 = 169$. Так как $149 < 169$, то есть $a^2 + b^2 < c^2$, то треугольник тупоугольный. 5. Для нахождения радиуса описанной окружности используем формулу: $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ - стороны треугольника, $S$ - площадь треугольника. Сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ - полупериметр треугольника, $p = \frac{a+b+c}{2}$. В нашем случае, $a = 13$ см, $b = 20$ см, $c = 21$ см. Тогда: $p = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см. $S = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 9} = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 3 = 126$ см$^2$. Теперь найдем радиус описанной окружности: $R = \frac{13 \cdot 20 \cdot 21}{4 \cdot 126} = \frac{13 \cdot 20 \cdot 21}{504} = \frac{5460}{504} = \frac{65}{6} = 10\frac{5}{6}$ см.