Найди f(-1), определи значения x при f(x) = 1, проверь принадлежность точки графику, определи значения x при f(x) < 0, найди нули функции, область определения, построй график, определи точки пересечения, построй векторы и вырази векторы через другие.

1. Функция задана формулой $f(x) = 5x^2 - 3x - 1$. a) Найдите $f(-1)$. Чтобы найти $f(-1)$, нужно подставить $-1$ вместо $x$ в формулу функции: $f(-1) = 5(-1)^2 - 3(-1) - 1 = 5(1) + 3 - 1 = 5 + 3 - 1 = 7$ **Ответ: $f(-1) = 7$** б) Определите, при каких значениях $x$ выполняется равенство $f(x) = 1$. Чтобы найти значения $x$, при которых $f(x) = 1$, нужно решить уравнение: $5x^2 - 3x - 1 = 1$ $5x^2 - 3x - 2 = 0$ Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(5)(-2) = 9 + 40 = 49$. $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{49}}{10} = \frac{3 + 7}{10} = \frac{10}{10} = 1$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{49}}{10} = \frac{3 - 7}{10} = \frac{-4}{10} = -0.4$ **Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -0.4$** в) Принадлежит ли графику функции точка $A(0;-1)$? Чтобы проверить, принадлежит ли точка $A(0;-1)$ графику функции, нужно подставить координаты точки в формулу функции и убедиться, что равенство выполняется. $f(0) = 5(0)^2 - 3(0) - 1 = -1$ Так как $f(0) = -1$, то точка $A(0;-1)$ принадлежит графику функции. **Ответ: Принадлежит** 2. Функция задана формулой $f(x) = -3x + 9$. а) Определите, при каких значениях $x$, $f(x) < 0$. Чтобы найти значения $x$, при которых $f(x) < 0$, нужно решить неравенство: $-3x + 9 < 0$ $-3x < -9$ $x > 3$ **Ответ: $x > 3$** б) Найдите нули функции. Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение $f(x) = 0$: $-3x + 9 = 0$ $-3x = -9$ $x = 3$ **Ответ: $x = 3$** 3. Найдите область определения функции: $y = \frac{x+1}{x^2-4}$. Область определения функции - это все значения $x$, при которых функция определена. В данном случае нужно исключить значения $x$, при которых знаменатель равен нулю: $x^2 - 4 = 0$ $(x - 2)(x + 2) = 0$ $x = 2$ или $x = -2$ **Ответ: Область определения: $x \neq 2$, $x \neq -2$** 4*. Постройте график функции $y = (1-x)(x + 5)$. а) Найдите по графику функции промежутки возрастания и убывания функции. б) Определите аналитически координаты точек пересечения данного графика с графиком функции $y = x^2 - 7x + 3$. Для начала раскроем скобки в выражении для первой функции: $y = (1-x)(x + 5) = x + 5 - x^2 - 5x = -x^2 - 4x + 5$ :::div .chart-container @chart-1::: Теперь найдём точки пересечения графиков функций $y = -x^2 - 4x + 5$ и $y = x^2 - 7x + 3$. Для этого приравняем выражения для $y$: $-x^2 - 4x + 5 = x^2 - 7x + 3$ $0 = 2x^2 - 3x - 2$ Решим квадратное уравнение: $2x^2 - 3x - 2 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25$. $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{4} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{4} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$ Теперь найдём соответствующие значения $y$: Для $x_1 = 2$: $y_1 = (2)^2 - 7(2) + 3 = 4 - 14 + 3 = -7$ Для $x_2 = -0.5$: $y_2 = (-0.5)^2 - 7(-0.5) + 3 = 0.25 + 3.5 + 3 = 6.75$ **Ответ: Точки пересечения графиков: $(2; -7)$ и $(-0.5; 6.75)$** 1. Начертите два неколлинеарных вектора $\vec{m}$ и $\vec{n}$. Постройте векторы, равные: а) $\frac{1}{3}\vec{m}+2\vec{n}$; б) $3\vec{n}-\vec{m}$. Для этого задания тебе нужно нарисовать два вектора, а затем построить новые векторы, используя данные комбинации. Поскольку я не могу рисовать, я не могу выполнить это задание. 2. На стороне $CD$ квадрата $ABCD$ лежит точка $P$ так, что $CP = PD$, $O$ - точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $\vec{BO}$, $\vec{BP}$, $\vec{PA}$ через векторы $\vec{x} = \vec{BA}$ и $\vec{y} = \vec{BC}$. Так как $ABCD$ - квадрат, $\vec{BA} = \vec{x}$ и $\vec{BC} = \vec{y}$. Также, $\vec{CD} = -\vec{x}$ и $\vec{AD} = \vec{y}$. $\vec{BO} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC}) = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$ Так как $CP = PD$, то $P$ - середина $CD$, и $\vec{CP} = \frac{1}{2}\vec{CD} = -\frac{1}{2}\vec{x}$. $\vec{BP} = \vec{BC} + \vec{CP} = \vec{y} - \frac{1}{2}\vec{x} = -\frac{1}{2}\vec{x} + \vec{y}$ $\vec{PA} = \vec{PD} + \vec{DA} = \frac{1}{2}\vec{CD} - \vec{AD} = -\frac{1}{2}\vec{x} - \vec{y}$ **Ответ:** $\vec{BO} = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$ $\vec{BP} = -\frac{1}{2}\vec{x} + \vec{y}$ $\vec{PA} = -\frac{1}{2}\vec{x} - \vec{y}$