Реши задачи по геометрии: найди значения выражений с тригонометрическими функциями, вычисли стороны и площадь параллелограмма, определи верные утверждения.

6. Дано $\sin \alpha = 0.6$, $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Нужно найти $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, $\cot \alpha$. Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, то $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - 0.6^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$. $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0.6}{0.8} = \frac{3}{4} = 0.75$. $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{0.75} = \frac{4}{3} \approx 1.33$. **Ответ:** $\cos \alpha = 0.8$, $\tan \alpha = 0.75$, $\cot \alpha = \frac{4}{3}$. 7. Вычислим значения выражений: a) $\sin 30^\circ - \cos 45^\circ = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$. б) $2 \cos 30^\circ + \cos 60^\circ + \cos 90^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + 0 = \sqrt{3} + \frac{1}{2}$. **Ответ:** a) $\frac{1 - \sqrt{2}}{2}$, б) $\sqrt{3} + \frac{1}{2}$. 8. Дано: треугольник $ABC$, $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 30^\circ$, $BC = 6$. Нужно найти $AC$. По теореме синусов: $\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$. $AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{6 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{6 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$. **Ответ:** $AC = 3\sqrt{2}$. 9. Дано: смежные стороны параллелограмма равны 5 см и 4 см, угол между ними равен $60^\circ$. Нужно найти диагонали параллелограмма и его площадь. Пусть стороны параллелограмма $a = 5$ см и $b = 4$ см, угол между ними $\alpha = 60^\circ$. Площадь параллелограмма: $S = a \cdot b \cdot \sin \alpha = 5 \cdot 4 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ см$^2$. Диагонали параллелограмма можно найти по теореме косинусов: $d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ = 25 + 16 - 40 \cdot \frac{1}{2} = 41 - 20 = 21$, тогда $d_1 = \sqrt{21}$. $d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos \alpha = 5^2 + 4^2 + 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ = 25 + 16 + 40 \cdot \frac{1}{2} = 41 + 20 = 61$, тогда $d_2 = \sqrt{61}$. **Ответ:** $S = 10\sqrt{3}$ см$^2$, $d_1 = \sqrt{21}$ см, $d_2 = \sqrt{61}$ см. 10. Рассмотрим утверждения: 6) Если косинусы углов равны, то равны и сами углы. - Верно для углов в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. 7) Синус угла треугольника может быть отрицательным числом. - Неверно, синус угла треугольника всегда положителен. 8) Синусы смежных углов равны. - Верно. 9) Смежные углы равны. - Неверно, смежные углы в сумме дают $180^\circ$. 10) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. - Верно. **Ответ:** 6, 8, 10.