Реши задачи из контрольной работы №1 по теме «Решение треугольников» (Вариант №1): найди cos a, tg a, ctg a, найди значение выражения, найди АС, найди диагонали параллелограмма и его площадь, выпиши номера верных утверждений.

Решаю задачи из варианта №1. 6. Дано $\sin \alpha = 0.6$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Нужно найти $\cos \alpha$, $\tan \alpha$ и $\cot \alpha$. * Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, то $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - 0.6^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$. * $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0.6}{0.8} = \frac{3}{4} = 0.75$. * $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{0.75} = \frac{4}{3} \approx 1.33$. **Ответ:** $\cos \alpha = 0.8$, $\tan \alpha = 0.75$, $\cot \alpha = \frac{4}{3}$. 7. Найти значение выражения: a) $\sin 30^\circ \cdot \cos 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$. б) $\cos 60^\circ - \sin 150^\circ = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$. в) $2 \cos 30^\circ \cdot \cos 60^\circ \cdot \cos 90^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$. **Ответ:** a) $\frac{\sqrt{2}}{4}$, б) $0$, в) $0$. 8. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 30^\circ$, $BC = 6$. Найти $AC$. * По теореме синусов: $\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$. * $AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{6 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{6 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$. **Ответ:** $AC = 3\sqrt{2}$. 9. Смежные стороны параллелограмма равны 5 см и 4 см, а угол между ними равен $60^\circ$. Найти диагонали параллелограмма и его площадь. * Пусть параллелограмм $ABCD$, где $AB = 5$ см, $AD = 4$ см и $\angle A = 60^\circ$. * Площадь параллелограмма: $S = AB \cdot AD \cdot \sin A = 5 \cdot 4 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ см$^2$. * Диагональ $BD$: $BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ = 25 + 16 - 40 \cdot \frac{1}{2} = 41 - 20 = 21$, значит, $BD = \sqrt{21}$ см. * Диагональ $AC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos (180^\circ - A) = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ = 25 + 16 - 40 \cdot (-\frac{1}{2}) = 41 + 20 = 61$, значит, $AC = \sqrt{61}$ см. **Ответ:** $S = 10\sqrt{3}$ см$^2$, $BD = \sqrt{21}$ см, $AC = \sqrt{61}$ см. 10. Выписать номера верных утверждений: * 6) Если косинусы углов равны, то равны и сами углы. - Неверно. Пример: $\cos(30^\circ) = \cos(-30^\circ)$. * 7) Синус угла треугольника может быть отрицательным числом. - Неверно, так как углы треугольника лежат в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$, а синус в этом диапазоне неотрицателен. * 8) Синусы смежных углов равны. - Верно. Так как $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$. * 9) Смежные углы равны. - Неверно. Смежные углы в сумме дают $180^\circ$, но не обязательно равны. * 10) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. - Верно. Так как один угол прямой ($90^\circ$), а сумма углов треугольника $180^\circ$. **Ответ:** 8, 10.