Найди площадь боковой поверхности шестиугольной пирамиды со стороной основания 10 и боковым ребром 13 и площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 20 и высотой 24.

Вариант II 1. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 10, боковое ребро равно 13. Надо найти площадь боковой поверхности этой пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды равна сумме площадей шести боковых граней, каждая из которых является равнобедренным треугольником. Площадь боковой грани можно найти, зная сторону основания $a = 10$ и боковое ребро $b = 13$. Высоту боковой грани ($h_b$) можно найти по теореме Пифагора: $$h_b = \sqrt{b^2 - (a/2)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$ Площадь одной боковой грани: $$S_\text{грани} = \frac{1}{2} a h_b = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$$ Площадь боковой поверхности: $$S_\text{бок} = 6 S_\text{грани} = 6 \cdot 60 = 360$$ **Ответ: 360** 2. Надо найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 20 и высота равна 24. Полная площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды состоит из площади основания и площади боковой поверхности. Основание - квадрат со стороной $a = 20$, поэтому площадь основания: $$S_\text{осн} = a^2 = 20^2 = 400$$ Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равнобедренных треугольников. Высоту боковой грани ($h_b$) найдем по теореме Пифагора, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и высотой боковой грани. Высота пирамиды $H = 24$. $$h_b = \sqrt{H^2 + (a/2)^2} = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$$ Площадь боковой грани: $$S_\text{грани} = \frac{1}{2} a h_b = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 26 = 260$$ Площадь боковой поверхности: $$S_\text{бок} = 4 S_\text{грани} = 4 \cdot 260 = 1040$$ Полная площадь поверхности: $$S_\text{полн} = S_\text{осн} + S_\text{бок} = 400 + 1040 = 1440$$ **Ответ: 1440**