Реши задачи 271, 272 и 273 по геометрии.

271. Пусть длина перпендикуляра равна $x$ см, тогда длина наклонной равна $(x + 1)$ см. Зная, что их сумма равна 17 см, составим уравнение: $x + (x + 1) = 17$. Решаем уравнение: $2x + 1 = 17$, $2x = 16$, $x = 8$. Значит, длина перпендикуляра (расстояние от точки до прямой) равна 8 см. **Ответ: 8 см** 272. В равностороннем треугольнике биссектриса является и медианой, и высотой. Значит, $AD$ перпендикулярна $BC$ и делит её пополам. Расстояние от точки $D$ до $AC$ равно 6 см. Так как $AD$ - биссектриса, то точка $D$ равноудалена от сторон угла $BAC$. Следовательно, расстояние от точки $D$ до $AB$ тоже равно 6 см. В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. Угол $BAD$ равен половине угла $BAC$, то есть 30 градусов. Катет $BD$ лежит против угла в 30 градусов, значит, он равен половине гипотенузы $AB$. Пусть $BD = x$, тогда $AB = 2x$. По теореме Пифагора: $AD^2 + BD^2 = AB^2$. Так как $AD$ это высота, то $\angle ADC = 90^\circ $. Зная, что расстояние от точки $D$ до $AC$ равно 6 см, можно найти $AD$ из прямоугольного треугольника $ADC$: $AD = \frac{6}{\sin{60^\circ }} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$. Тогда $AD = 4\sqrt{3}$. Подставляем в уравнение $AD^2 + BD^2 = AB^2$: $(4\sqrt{3})^2 + x^2 = (2x)^2$, $48 + x^2 = 4x^2$, $3x^2 = 48$, $x^2 = 16$, $x = 4$. Значит, $BD = 4$, тогда $BC = 2 Imes BD = 8$. **Ответ: 8 см** 273. Пусть длина гипотенузы $CE = x$ см, тогда длина катета $CD = (x - 3)$ см. Зная, что их сумма равна 31 см, составим уравнение: $x + (x - 3) = 31$. Решаем уравнение: $2x - 3 = 31$, $2x = 34$, $x = 17$. Значит, $CE = 17$ см, $CD = 14$ см. По теореме Пифагора, найдём длину катета $DE$: $DE^2 = CE^2 - CD^2$, $DE^2 = 17^2 - 14^2 = 289 - 196 = 93$, $DE = \sqrt{93}$ см. Площадь треугольника $CDE$ можно найти двумя способами: $S = \frac{1}{2} Imes CD Imes DE$ и $S = \frac{1}{2} Imes DE Imes h$, где $h$ - расстояние от вершины $C$ до прямой $DE$. Приравниваем площади: $\frac{1}{2} Imes CD Imes DE = \frac{1}{2} Imes DE Imes h$, $CD Imes DE = DE Imes h$, $14 = h$. Значит, расстояние от вершины $C$ до прямой $DE$ равно 14 см. **Ответ: 14 см**