Реши задачи по геометрии: 1) Найди третью сторону треугольника и его площадь, если две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними 120°.

1. Применим теорему косинусов, чтобы найти третью сторону треугольника. Пусть $a = 10$ см, $b = 12$ см, угол $\gamma = 120^\circ$. Тогда третья сторона $c$ равна: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$$ $$c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos(120^\circ)$$ $$c^2 = 100 + 144 - 240 \cdot (-0.5)$$ $$c^2 = 244 + 120 = 364$$ $$c = \sqrt{364} = 2\sqrt{91} \approx 19.08 \text{ см}$$ Теперь найдем площадь треугольника по формуле: $$S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin(\gamma)$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \sin(120^\circ)$$ $$S = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3} \approx 51.96 \text{ см}^2$$ 2. Применим теорему синусов, чтобы найти сторону $AB$. Дано: $AC = 5\sqrt{2}$ см, $\angle B = 45^\circ$, $\angle C = 30^\circ$. Сначала найдем угол $A$: $$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$$ Теперь применим теорему синусов: $$\frac{AB}{\sin(C)} = \frac{AC}{\sin(B)}$$ $$AB = \frac{AC \cdot \sin(C)}{\sin(B)} = \frac{5\sqrt{2} \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(45^\circ)} = \frac{5\sqrt{2} \cdot 0.5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{2} \cdot 0.5 \cdot 2}{\sqrt{2}} = 5 \text{ см}$$ 3. Чтобы определить, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон. Пусть $a = 6$ см, $b = 8$ см, $c = 11$ см. Тогда: $$a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$ $$c^2 = 11^2 = 121$$ Так как $c^2 > a^2 + b^2$ (121 > 100), треугольник является тупоугольным. 4. Пусть одна сторона равна $x$, тогда другая равна $x + 3$. Третья сторона равна 7 см. Угол между сторонами $x$ и $x + 3$ равен $60^\circ$. Применим теорему косинусов: $$7^2 = x^2 + (x+3)^2 - 2x(x+3)\cos(60^\circ)$$ $$49 = x^2 + x^2 + 6x + 9 - 2x(x+3) \cdot 0.5$$ $$49 = 2x^2 + 6x + 9 - x^2 - 3x$$ $$x^2 + 3x - 40 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 160}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{-3 \pm 13}{2}$$ $$x_1 = \frac{-3 + 13}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-3 - 13}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$ Так как длина стороны не может быть отрицательной, $x = 5$ см. Тогда другая сторона равна $x + 3 = 5 + 3 = 8$ см. Периметр треугольника равен: $$P = 5 + 8 + 7 = 20 \text{ см}$$ **Ответы:** 1. Третья сторона: $\approx 19.08$ см, площадь: $\approx 51.96$ см$^2$ 2. Сторона AB: 5 см 3. Треугольник тупоугольный 4. Периметр треугольника: 20 см