Разложи число 5544 на простые множители.

1) Разложим число 5544 на простые множители: $$5544 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 11$$ 2) Найдем НОД и НОК чисел 504 и 756: Разложим числа на простые множители: $$504 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$$ $$756 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7$$ НОД (наибольший общий делитель) - произведение общих простых множителей в наименьших степенях: $$НОД(504, 756) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 4 \cdot 9 \cdot 7 = 252$$ НОК (наименьшее общее кратное) - произведение всех простых множителей в наибольших степенях: $$НОК(504, 756) = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 7 = 8 \cdot 27 \cdot 7 = 1512$$ 3) a) Чтобы доказать, что числа 255 и 238 не взаимно простые, нужно показать, что у них есть общий делитель, кроме 1. $$255 = 3 \cdot 5 \cdot 17$$ $$238 = 2 \cdot 7 \cdot 17$$ Видим, что у чисел 255 и 238 есть общий делитель 17, следовательно, они не являются взаимно простыми. б) Чтобы доказать, что числа 392 и 675 взаимно простые, нужно показать, что у них нет общих делителей, кроме 1. $$392 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7^2$$ $$675 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 3^3 \cdot 5^2$$ У чисел 392 и 675 нет общих делителей, следовательно, они взаимно простые. 4) Пусть $x$ - количество подарков. Тогда число шоколадок в одном подарке равно $\frac{120}{x}$, число конфет в одном подарке равно $\frac{280}{x}$, число орехов в одном подарке равно $\frac{320}{x}$. Так как в каждом подарке целое количество шоколадок, конфет и орехов, то $x$ должно быть делителем чисел 120, 280 и 320. Значит, $x$ является общим делителем этих чисел. Найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел 120, 280 и 320. $$120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$$ $$280 = 2^3 \cdot 5 \cdot 7$$ $$320 = 2^6 \cdot 5$$ $$НОД(120, 280, 320) = 2^3 \cdot 5 = 8 \cdot 5 = 40$$ Так как $x$ должно быть больше 30, то $x = 40$. Следовательно, было приготовлено 40 подарков. 5) Пусть $x$ - количество экскурсантов. Из условия известно, что $80 < x < 100$. Также известно, что экскурсантов можно рассадить в лодки по 8 или по 12 человек, и в обоих случаях свободных мест не остается. Это означает, что количество экскурсантов должно делиться и на 8, и на 12. Значит, $x$ должно быть кратно числам 8 и 12. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 8 и 12. $$8 = 2^3$$ $$12 = 2^2 \cdot 3$$ $$НОК(8, 12) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$$ Число $x$ должно быть кратно 24 и находиться в интервале от 80 до 100. Найдем числа, кратные 24, в этом интервале: $$24 \cdot 1 = 24$$ $$24 \cdot 2 = 48$$ $$24 \cdot 3 = 72$$ $$24 \cdot 4 = 96$$ $$24 \cdot 5 = 120$$ Единственное число, которое удовлетворяет условию $80 < x < 100$, это 96. Следовательно, было 96 экскурсантов.