Реши задачи 7-13 по геометрии.

7. Раз треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB = BC$), то углы при основании $AC$ равны. Значит, $\angle BAC = \angle BCA$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Тогда: $$\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ$$ $$2 \cdot \angle BCA + 108^\circ = 180^\circ$$ $$2 \cdot \angle BCA = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$$ $$\angle BCA = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$$ **Ответ: 36°** 8. По теореме Пифагора, гипотенуза $c$ равна: $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$$ **Ответ: 17** 9. Пусть $a$ — известный катет, $c$ — гипотенуза, $b$ — другой катет. По теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$ $$40^2 + b^2 = 41^2$$ $$1600 + b^2 = 1681$$ $$b^2 = 1681 - 1600 = 81$$ $$b = \sqrt{81} = 9$$ **Ответ: 9** 10. Площадь треугольника $S$ равна половине произведения основания $a$ на высоту $h$, проведённую к этому основанию: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 33 = 6 \cdot 33 = 198$$ **Ответ: 198** 11. Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 15 \cdot \frac{4}{9} = \frac{12 \cdot 15 \cdot 4}{2 \cdot 9} = \frac{720}{18} = 40$$ **Ответ: 40** 12. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов $a$ и $b$: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 9 = 2 \cdot 9 = 18$$ **Ответ: 18** 13. $BM$ - медиана, следовательно, $M$ - середина $AC$, а значит, $AM = MC = \frac{AC}{2}$. Тогда: $$AM = \frac{54}{2} = 27$$ **Ответ: 27**