Реши задачи по геометрии: 1) Найди угол AOD, если диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, \(\angle ABO = 36^\circ\); 2) Найди углы прямоугольной трапеции, если один из ее углов равен 20°; 3) Найди стороны параллелограмма, если стороны относятся как 1:2, а периметр равен 30 см; 4) Найди углы равнобокой трапеции, если сумма углов при большем основании равна 96°; 5) Найди длину диагонали BD ромба, если высота BM, проведенная из вершины угла ромба ABCD образует со стороной AB угол 30°, AM = 4 см, точка M лежит на стороне AD.

1. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, \(\angle ABO = 36^\circ\). Найдите угол AOD. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, значит \(AO = BO\), и треугольник \(ABO\) – равнобедренный. Тогда \(\angle BAO = \angle ABO = 36^\circ\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle AOB = 180^\circ - \angle BAO - \angle ABO = 180^\circ - 36^\circ - 36^\circ = 108^\circ\). \(\angle AOD\) и \(\angle AOB\) – смежные, значит, в сумме дают \(180^\circ\). \(\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ\). **Ответ: \(72^\circ\)** 2. Найдите углы прямоугольной трапеции, если один из ее углов равен \(20^\circ\). В прямоугольной трапеции два угла по \(90^\circ\). Если один из углов не прямой, то он может быть либо острым, либо тупым. Если данный угол острый и равен \(20^\circ\), то четвертый угол трапеции равен \(360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 20^\circ = 160^\circ\). Если данный угол тупой и равен \(20^\circ\), то такого не может быть, потому что в трапеции не может быть тупого угла меньше \(90^\circ\). **Ответ: \(90^\circ, 90^\circ, 20^\circ, 160^\circ\)** 3. Стороны параллелограмма относятся как 1 : 2, а его периметр равен 30 см. Найдите стороны параллелограмма. Пусть одна часть \(x\) см, тогда одна сторона параллелограмма равна \(x\) см, а другая \(2x\) см. Периметр параллелограмма равен \(2(x + 2x)\). Составим уравнение: $$2(x + 2x) = 30$$ $$2 \cdot 3x = 30$$ $$6x = 30$$ $$x = 5$$ Значит, одна сторона равна \(5\) см, а другая \(2 \cdot 5 = 10\) см. **Ответ: 5 см, 10 см** 4. В равнобокой трапеции сумма углов при большем основании равна \(96^\circ\). Найдите углы трапеции. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Если сумма углов при большем основании равна \(96^\circ\), то каждый из этих углов равен \(96^\circ : 2 = 48^\circ\). Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна \(180^\circ\). Значит, каждый из углов при меньшем основании равен \(180^\circ - 48^\circ = 132^\circ\). **Ответ: \(48^\circ, 48^\circ, 132^\circ, 132^\circ\)** 5. Высота BM, проведенная из вершины угла ромба ABCD образует со стороной AB угол \(30^\circ\), AM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD. \(\angle ABM = 30^\circ\), значит, \(\angle MBA = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). В ромбе все стороны равны, значит, треугольник \(ABM\) – равнобедренный, и \(AB = BM\). В прямоугольном треугольнике против угла в \(30^\circ\) лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, \(AM = \frac{1}{2} AB\), или \(AB = 2AM = 2 \cdot 4 = 8\) см. Следовательно, \(AD = AB = 8\) см, а \(MD = AD - AM = 8 - 4 = 4\) см. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BMD\). В нем \(\angle BMD = 90^\circ\), \(BM = 8\) см, \(MD = 4\) см. По теореме Пифагора, $$BD = \sqrt{BM^2 + MD^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$$ **Ответ: \(4\sqrt{5}\) см**