Реши задачи из варианта 2: построй векторы, вырази векторы через другие векторы, найди среднюю линию трапеции и число k.

Конечно, помогу! Давай по порядку разберем задачи из твоего варианта. 1. **Построение векторов** * Возьми лист бумаги и нарисуй два вектора $$\vec{m}$$ и $$\vec{n}$$, идущие из одной точки, но не лежащие на одной прямой (не коллинеарные). * Теперь, чтобы построить вектор $$\frac{1}{3}\vec{m} + 2\vec{n}$$: * Уменьши вектор $$\vec{m}$$ в три раза (это будет $$\frac{1}{3}\vec{m}$$). * Удвой вектор $$\vec{n}$$ (это будет $$2\vec{n}$$). * Сложи полученные векторы $$\frac{1}{3}\vec{m}$$ и $$2\vec{n}$$ по правилу параллелограмма или треугольника. * Для вектора $$3\vec{n} - \vec{m}$$: * Умножь вектор $$\vec{n}$$ на 3 (это будет $$3\vec{n}$$). * Вектор $$\vec{m}$$ направь в противоположную сторону (это будет $$- \vec{m}$$). * Сложи векторы $$3\vec{n}$$ и $$- \vec{m}$$ также по правилу параллелограмма или треугольника. 2. **Выражение векторов через другие векторы** * В квадрате $ABCD$ точка $P$ лежит на стороне $CD$ так, что $CP = PD$, а $O$ - точка пересечения диагоналей. Нужно выразить векторы $$\vec{BO}$$, $$\vec{BP}$$, $$\vec{PA}$$ через векторы $$\vec{x} = \vec{BA}$$ и $$\vec{y} = \vec{BC}$$. * *Допущение:* Пусть сторона квадрата равна $a$. * Тогда, координаты точек: * $B(0; 0)$ * $A(a; 0)$ * $C(0; a)$ * $D(a; a)$ * $P(\frac{a}{2}; a)$ * $O(\frac{a}{2}; \frac{a}{2})$ * Выразим векторы: * $$\vec{BO} = (\frac{a}{2}; \frac{a}{2}) = \frac{1}{2} \vec{BA} + \frac{1}{2} \vec{BC} = \frac{1}{2} \vec{x} + \frac{1}{2} \vec{y}$$ * $$\vec{BP} = (\frac{a}{2}; a) = \frac{1}{2} \vec{BA} + \vec{BC} = \frac{1}{2} \vec{x} + \vec{y}$$ * $$\vec{PA} = (\frac{a}{2}; -a) = -\frac{1}{2} \vec{BA} - \vec{BC} = -\frac{1}{2} \vec{x} - \vec{y}$$ 3. **Средняя линия трапеции** * В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание - 7 см. Надо найти среднюю линию трапеции. * *Допущение:* Большее основание трапеции $b$, а боковая сторона $a = 8$ см, меньшее основание $c = 7$ см. Угол при большем основании равен 60°. Высота трапеции равна: $h = a \cdot sin(60°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см. Разность оснований: $b - c = 2 \cdot a \cdot cos(60°) = 2 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 8$ см. Тогда большее основание: $b = c + 8 = 7 + 8 = 15$ см. Средняя линия трапеции: $$m = \frac{b + c}{2} = \frac{15 + 7}{2} = \frac{22}{2} = 11$$ см. 4. **Поиск числа k** * В треугольнике $MNK$ точка $O$ - точка пересечения медиан, $MN = \vec{x}$, $MK = \vec{y}$, $MO = k(\vec{x} + \vec{y})$. Нужно найти число $k$. * Известно, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, $$MO = \frac{2}{3} \cdot ME$$, где $E$ - середина $NK$. Также, $$ME = \frac{1}{2} (MN + MK) = \frac{1}{2} (\vec{x} + \vec{y})$$. Тогда, $$MO = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} (\vec{x} + \vec{y}) = \frac{1}{3} (\vec{x} + \vec{y})$$. Следовательно, $k = \frac{1}{3}$. **Ответы:** 1. Построение выполнено (описано выше). 2. $\vec{BO} = \frac{1}{2} \vec{x} + \frac{1}{2} \vec{y}$, $$\vec{BP} = \frac{1}{2} \vec{x} + \vec{y}$$, $$\vec{PA} = -\frac{1}{2} \vec{x} - \vec{y}$$. 3. Средняя линия равна 11 см. 4. $k = \frac{1}{3}$.