Найди $DD_1$, если $CC_1 = 11$ см и $CD = 27$ см. Из концов диаметра $CD$ данной окружности проведены перпендикуляры $CC_1$ и $DD_1$ к касательной, не перпендикулярной к диаметру $CD$.

Пусть $O$ — центр окружности, $l$ — касательная, $A$ и $B$ — точки касания $CC_1$ и $DD_1$ с касательной соответственно. $CD = 27$ см — диаметр, значит, радиус $OC = OD = \frac{27}{2} = 13,5$ см. $CC_1 = 11$ см. Проведём $OE \perp CC_1$, тогда $CE = |CC_1 - OE| = |11 - 13.5| = 2.5$ см. $\triangle OEC$ — прямоугольный, поэтому $OE^2 + EC^2 = OC^2$, откуда $OE = \sqrt{OC^2 - EC^2} = \sqrt{13.5^2 - 2.5^2} = \sqrt{182.25 - 6.25} = \sqrt{176} = 4\sqrt{11}$ см. Так как $OE || AB$, то $\triangle CCO_1 \sim \triangle DDO_1$. Тогда $\frac{CC_1}{DD_1} = \frac{CO}{DO} = 1$, значит, $CC_1 = DD_1 = 11$ см. Это противоречит условию, что $CC_1 \ne DD_1$. Допущение: Касательная пересекает продолжение диаметра CD за точкой D. Пусть $DD_1 = x$, тогда $\frac{CC_1}{DD_1} = \frac{OC}{OD}$, то есть $\frac{11}{x} = \frac{OC}{OC+CD} = \frac{13.5}{13.5+27} = \frac{13.5}{40.5} = \frac{1}{3}$. Значит, $x = 3 \cdot 11 = 33$ см. **Ответ: $DD_1 = 33$ см.**