Реши задачи по геометрии: найди третью сторону и площадь треугольника, сторону AC треугольника, все углы треугольника и определи его тип, найди AB в треугольнике ABC.

1. Для треугольника со сторонами 8 см и 4 см и углом 30° между ними: * По теореме косинусов найдём третью сторону $c$: $$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)}$$ $$c = \sqrt{8^2 + 4^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \cos(30^\circ)}$$ $$c = \sqrt{64 + 16 - 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ $$c = \sqrt{80 - 32\sqrt{3}} \approx 4.64 \text{ см}$$ * Площадь треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 \cdot \sin(30^\circ)$$ $$S = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \text{ см}^2$$ 2. Для треугольника ABC с BC = 7 см, \(\angle A = 45^\circ\), \(\angle B = 30^\circ\): * Найдём угол C: \(\angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ\) * По теореме синусов найдём сторону AC: $$\frac{AC}{\sin(B)} = \frac{BC}{\sin(A)}$$ $$AC = \frac{BC \cdot \sin(B)}{\sin(A)}$$ $$AC = \frac{7 \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(45^\circ)}$$ $$AC = \frac{7 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \approx 4.95 \text{ см}$$ 3. Для треугольника ABC с AC = 6 см, AB = 11 см, BC = 8 см: * По теореме косинусов найдём углы: $$\cos(A) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{11^2 + 6^2 - 8^2}{2 \cdot 11 \cdot 6} = \frac{121 + 36 - 64}{132} = \frac{93}{132} \approx 0.705$$ $$A = \arccos(0.705) \approx 45.23^\circ$$ $$\cos(B) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{11^2 + 8^2 - 6^2}{2 \cdot 11 \cdot 8} = \frac{121 + 64 - 36}{176} = \frac{149}{176} \approx 0.847$$ $$B = \arccos(0.847) \approx 32.18^\circ$$ $$C = 180^\circ - A - B \approx 180^\circ - 45.23^\circ - 32.18^\circ \approx 102.59^\circ$$ * Так как один из углов больше 90°, то треугольник тупоугольный. 4. Для прямоугольного треугольника ABC с углом C = 90°, sin A = 0.5, AC = 7\(\sqrt{3}\): * Т.к. \(\sin A = 0.5\), то \(\angle A = 30^\circ\), следовательно, \(\angle B = 60^\circ\). * \(\tan A = \frac{BC}{AC}\), значит, \(BC = AC \cdot \tan A = 7\sqrt{3} \cdot \tan(30^\circ) = 7\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 7\). * По теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(7\sqrt{3})^2 + 7^2} = \sqrt{147 + 49} = \sqrt{196} = 14$$ **Ответы:** 1. Третья сторона: 4.64 см, площадь: 8 см² 2. AC ≈ 4.95 см 3. Углы: A ≈ 45.23°, B ≈ 32.18°, C ≈ 102.59°, треугольник тупоугольный. 4. AB = 14