Докажи, что $ABCD$ - параллелограмм

Для доказательства, что $ABCD$ - параллелограмм, нужно воспользоваться одним из признаков параллелограмма: 1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм. 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то это параллелограмм. 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм. 4. Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то это параллелограмм. Рассмотрим каждый случай: 1. Дано: углы $BAC$ и $ACD$ равны. Дополнительно нужно, чтобы углы $BCA$ и $CAD$ были равны. Тогда $ABCD$ - параллелограмм (по признаку равенства противоположных углов). 2. Дано: углы $PBA$ и $MCD$ равны, углы $PAK$ и $CDK$ равны. Если $BP \parallel MC$ и $PA \parallel CK$, то $ABCD$ - параллелограмм (по признаку параллельности противоположных сторон). 3. Дано: углы $BAO$ и $DCO$ равны, углы $BCO$ и $DAO$ равны. Если точка $O$ - середина диагоналей $AC$ и $BD$, то $ABCD$ - параллелограмм (по признаку пересечения диагоналей в середине). 4. Дано: углы $BCA$ и $CAD$ равны. Дополнительно нужно, чтобы углы $BAC$ и $ACD$ были равны. Тогда $ABCD$ - параллелограмм (по признаку равенства противоположных углов). 5. Дано: $BC = AD$, $BC \parallel AD$. Тогда $ABCD$ - параллелограмм (по определению). 6. Дано: $BO = OD$, $AO = OC$. Тогда $ABCD$ - параллелограмм (по свойству диагоналей). 7. Дано: $\triangle AOB = \triangle COD$. Из равенства треугольников следует, что $BO = OD$ и $AO = OC$. Тогда $ABCD$ - параллелограмм (по свойству диагоналей). 8. Дано: $\triangle ABC = \triangle CDA$. Из равенства треугольников следует, что $AB = CD$ и $BC = DA$. Тогда $ABCD$ - параллелограмм (по свойству противоположных сторон). 9. Дано: $AKCE$ - параллелограмм. Нужно доказать, что $ABCD$ - параллелограмм. Здесь недостаточно данных, так как нет информации о соотношении между параллелограммами $AKCE$ и четырехугольником $ABCD$. **Ответ:** Выше приведены рассуждения для каждого случая.