Реши задачи 15-19 из варианта 2 контрольной работы по геометрии.

15. Медиана равностороннего треугольника является также его высотой. Высота делит равносторонний треугольник на два прямоугольных треугольника с углом 60 градусов. Обозначим сторону равностороннего треугольника как $a$. Тогда половина стороны равна $a/2$. По теореме Пифагора, $a^2 = (a/2)^2 + (9\sqrt{3})^2$. Решаем уравнение: $a^2 = a^2/4 + 81 \cdot 3$ $3a^2/4 = 243$ $a^2 = 324$ $a = 18$ **Ответ: 18** 16. Угол $ADC$ опирается на ту же дугу, что и угол $ABC$, значит, они равны, так как четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC = \angle ABD + \angle DBC$. Угол $DBC$ опирается на ту же дугу, что и угол $CAD$, следовательно, $\angle DBC = \angle CAD = 32^{\circ}$. Тогда $\angle ABC = 16^{\circ} + 32^{\circ} = 48^{\circ}$. **Ответ: 48** 17. **Допущение:** Нужно найти длину большего отрезка, на которые диагональ делит среднюю линию трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $(14 + 19) / 2 = 16.5$. Диагональ трапеции отсекает от нее два треугольника. Рассмотрим треугольник с основанием 19. Средняя линия этого треугольника параллельна основанию и равна его половине, то есть $19 / 2 = 9.5$. Аналогично, для треугольника с основанием 14 средняя линия равна $14 / 2 = 7$. Тогда больший отрезок равен 9.5. **Ответ: 9.5** 18. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту. По рисунку видно, что верхнее основание равно 3, нижнее основание равно 5, а высота равна 3. Значит, площадь трапеции равна $((3 + 5) / 2) \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$. **Ответ: 12** 19. 1) Вертикальные углы равны - верно. 2) Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности - не всегда верно, нужно чтобы расстояние между центрами было меньше суммы радиусов. 3) Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам - неверно, только у параллелограмма. **Ответ: 1**