Реши задачи по геометрии: найди третью сторону и площадь треугольника, сторону BC, определи тип треугольника, найди периметр треугольника, радиус описанной окружности и неизвестную сторону треугольника.

1. Пусть $a = 6$ см, $b = 8$ см, $\gamma = 60^\circ$. Тогда третья сторона $c$ находится по теореме косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{\gamma} = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos{60^\circ} = 36 + 64 - 96 \cdot \frac{1}{2} = 100 - 48 = 52$. $c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ см. Площадь треугольника $S$ равна: $S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin{\gamma} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin{60^\circ} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ см$^2$. 2. Пусть $AB = c = 3\sqrt{2}$ см, $\angle C = 45^\circ$, $\angle A = 120^\circ$. Тогда $\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 120^\circ - 45^\circ = 15^\circ$. По теореме синусов: $\frac{BC}{\sin{A}} = \frac{AB}{\sin{C}}$ $BC = \frac{AB \cdot \sin{A}}{\sin{C}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin{120^\circ}}{\sin{45^\circ}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{3}$ см. 3. Пусть $a = 7$ см, $b = 10$ см, $c = 13$ см. Проверим, выполняется ли неравенство треугольника: $a + b > c$, $a + c > b$, $b + c > a$. $7 + 10 > 13$ (17 > 13) - верно. $7 + 13 > 10$ (20 > 10) - верно. $10 + 13 > 7$ (23 > 7) - верно. Так как все неравенства выполняются, такой треугольник существует. Проверим, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным. Для этого сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон: $c^2 = a^2 + b^2$ $13^2 = 7^2 + 10^2$ $169 = 49 + 100$ $169 = 149$ - неверно, значит, треугольник не прямоугольный. Если $c^2 < a^2 + b^2$, то треугольник остроугольный. Если $c^2 > a^2 + b^2$, то треугольник тупоугольный. В нашем случае $169 > 149$, то есть $c^2 > a^2 + b^2$, следовательно, треугольник тупоугольный. 4. Допущение: Пусть одна сторона треугольника равна $x$, тогда другая сторона равна $x + 8$. Третья сторона равна 28 см, а угол между сторонами $x$ и $x+8$ равен $120^\circ$. Тогда по теореме косинусов: $28^2 = x^2 + (x+8)^2 - 2 \cdot x \cdot (x+8) \cdot \cos{120^\circ}$ $784 = x^2 + x^2 + 16x + 64 - 2x(x+8) \cdot (-\frac{1}{2})$ $784 = 2x^2 + 16x + 64 + x^2 + 8x$ $3x^2 + 24x - 720 = 0$ $x^2 + 8x - 240 = 0$ $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 64 + 960 = 1024$ $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{1024}}{2} = \frac{-8 + 32}{2} = \frac{24}{2} = 12$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{1024}}{2} = \frac{-8 - 32}{2} = \frac{-40}{2} = -20$ (не подходит, так как сторона не может быть отрицательной). Итак, $x = 12$ см, тогда другая сторона $x + 8 = 12 + 8 = 20$ см. Периметр треугольника равен $P = x + (x+8) + 28 = 12 + 20 + 28 = 60$ см. 5. Радиус окружности, описанной около треугольника, вычисляется по формуле: $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ - стороны треугольника, $S$ - площадь треугольника. $a = 13$ см, $b = 20$ см, $c = 21$ см. Полупериметр $p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см. Площадь треугольника найдем по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 49} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 126$ см$^2$. $R = \frac{13 \cdot 20 \cdot 21}{4 \cdot 126} = \frac{13 \cdot 5 \cdot 1}{6} = \frac{65}{6} = 10\frac{5}{6}$ см. 6. Допущение: Пусть две стороны треугольника равны $a=6$ см и $b=8$ см, медиана, проведённая к третьей стороне $c$, равна $m_c = \sqrt{14}$ см. Тогда длину стороны $c$ можно найти по формуле: $m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$ $\sqrt{14} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 8^2 - c^2}$ $2\sqrt{14} = \sqrt{2 \cdot 36 + 2 \cdot 64 - c^2}$ $4 \cdot 14 = 72 + 128 - c^2$ $56 = 200 - c^2$ $c^2 = 200 - 56$ $c^2 = 144$ $c = \sqrt{144} = 12$ см. **Ответы:** 1. $c = 2\sqrt{13}$ см, $S = 12\sqrt{3}$ см$^2$. 2. $BC = 3\sqrt{3}$ см. 3. Треугольник тупоугольный. 4. $P = 60$ см. 5. $R = 10\frac{5}{6}$ см. 6. $c = 12$ см.