Реши контрольную работу по теме: «Неравенства и их системы» из 7 заданий.

1. Чтобы доказать, что $(a+3)(a+1) > a(a+4)$, раскроем скобки с обеих сторон неравенства: $a^2 + a + 3a + 3 > a^2 + 4a$ $a^2 + 4a + 3 > a^2 + 4a$ Теперь вычтем из обеих частей $a^2 + 4a$: $3 > 0$ Так как $3 > 0$ всегда верно, то неравенство $(a+3)(a+1) > a(a+4)$ доказано при любом значении переменной. 2. Чтобы доказать, что $2a^2 - 8a + 16 > 0$, можно рассмотреть это как квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 ot eg 2 ot eg 16 = 64 - 128 = -64$ Так как дискриминант отрицательный, а коэффициент при $a^2$ (равный 2) положительный, это означает, что парабола $2a^2 - 8a + 16$ всегда выше оси x. Следовательно, $2a^2 - 8a + 16 > 0$ при любом значении $a$. 3. Дано $a < b$. 1) Сравним $a-6$ и $b$: Так как $a < b$, то $a - 6 < b - 6$. Мы не можем однозначно сравнить $a-6$ и $b$, так как не знаем, насколько $a$ меньше $b$. 2) Сравним $a$ и $b+6$: Так как $a < b$, то $a < b + 6$. 4. Дано $4 < a < 8$ и $2 < b < 10$. 1) Оценим $a+b$: Сложим нижние границы: $4 + 2 = 6$. Сложим верхние границы: $8 + 10 = 18$. Тогда $6 < a + b < 18$. 2) Оценим $a-b$: Вычтем из нижней границы $a$ верхнюю границу $b$: $4 - 10 = -6$. Вычтем из верхней границы $a$ нижнюю границу $b$: $8 - 2 = 6$. Тогда $-6 < a - b < 6$. 5. Решим неравенство $\frac{2}{x^2} + 2 > 0$: Так как $x^2$ всегда положительно (кроме $x=0$), то $\frac{2}{x^2}$ тоже всегда положительно (если $x \neq 0$). Значит, $\frac{2}{x^2} + 2$ всегда больше 0, за исключением $x=0$. Таким образом, решением является $x \neq 0$. 6. Решим неравенства: a) $3x - 4 < 5$ $3x < 9$ $x < 3$ б) $-3x < \frac{6}{7}$ Разделим обе части на -3 (не забываем поменять знак неравенства): $x > -\frac{6}{7} : 3$ $x > -\frac{6}{7} \cdot \frac{1}{3}$ $x > -\frac{2}{7}$ 7. Решим системы неравенств: a) $\begin{cases} 7 - 3x \geq 2x - 3 \\ 10x - 1 \geq 3 \end{cases}$ Решим первое неравенство: $7 - 3x \geq 2x - 3$ $10 \geq 5x$ $x \leq 2$ Решим второе неравенство: $10x - 1 \geq 3$ $10x \geq 4$ $x \geq \frac{4}{10}$ $x \geq 0.4$ Объединим решения: $0.4 \leq x \leq 2$ б) $\begin{cases} \frac{6x+1}{6} - \frac{5x-1}{5} > -1 \\ 2(x+8) - 3(x+2) < 5 - x \end{cases}$ Решим первое неравенство: $\frac{6x+1}{6} - \frac{5x-1}{5} > -1$ Приведем к общему знаменателю 30: $\frac{5(6x+1) - 6(5x-1)}{30} > -1$ $30x + 5 - 30x + 6 > -30$ $11 > -30$ (это всегда верно) Решим второе неравенство: $2(x+8) - 3(x+2) < 5 - x$ $2x + 16 - 3x - 6 < 5 - x$ $-x + 10 < 5 - x$ $10 < 5$ (это неверно) Так как второе неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. в) $\begin{cases} -x < 2 \\ 2x > 7 \\ x < -4 \end{cases}$ Решим первое неравенство: $-x < 2$ $x > -2$ Решим второе неравенство: $2x > 7$ $x > \frac{7}{2}$ $x > 3.5$ Решим третье неравенство: $x < -4$ Объединим решения: Так как $x$ должен быть больше $-2$ и $3.5$, и меньше $-4$, эта система не имеет решений, так как нет чисел, которые одновременно больше $3.5$ и меньше $-4$.