Реши задачи по геометрии из контрольной работы: 1) В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=13, AB=20. Найди cosB, tgA.

Решаю задачи по геометрии из твоего варианта контрольной работы: 1. В прямоугольном треугольнике ABC с углом C = 90°, даны BC = 13 и AB = 20. Нужно найти $\cos B$ и $tg A$. $\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{13}{20} = 0.65$ $\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - 0.65^2} = \sqrt{1 - 0.4225} = \sqrt{0.5775} \approx 0.76$ $\tg A = \frac{BC}{AC}$. Сначала найдем AC: $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{20^2 - 13^2} = \sqrt{400 - 169} = \sqrt{231} \approx 15.20$ $\tg A = \frac{13}{\sqrt{231}} = \frac{13}{15.20} \approx 0.86$ **Ответ:** $\cos B = 0.65$, $\tg A \approx 0.86$ 2. В треугольнике ABC известно: AB = 6, BC = 8, AC = 4. Найдем $\cos \angle ABC$ (то есть, $\cos B$): По теореме косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$ $4^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos B$ $16 = 36 + 64 - 96 \cdot \cos B$ $96 \cdot \cos B = 84$ $\cos B = \frac{84}{96} = \frac{7}{8} = 0.875$ **Ответ:** $\cos \angle ABC = 0.875$ 3. Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, угол между ними 60°. Найдем третью сторону и площадь треугольника. Пусть $a = 10$ см, $b = 12$ см, $\gamma = 60^\circ$. По теореме косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$ $c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos 60^\circ$ $c^2 = 100 + 144 - 240 \cdot \frac{1}{2} = 244 - 120 = 124$ $c = \sqrt{124} \approx 11.14$ см Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \sin 60^\circ = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3} \approx 51.96$ см$^2$ **Ответ:** Третья сторона $\approx 11.14$ см, площадь $\approx 51.96$ см$^2$. 4. В треугольнике ABC известно: AC = $5\sqrt{2}$ см, $\angle B = 45^\circ$, $\angle C = 30^\circ$. Найдем сторону AB. По теореме синусов: $\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$ $AB = \frac{AC \cdot \sin C}{\sin B} = \frac{5\sqrt{2} \cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{5\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 5$ см **Ответ:** AB = 5 см. 5. Решим треугольник ABC, если AB = 3 см, AC = 6 см, $\angle A = 60^\circ$. По теореме косинусов: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$ $BC^2 = 3^2 + 6^2 - 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ$ $BC^2 = 9 + 36 - 36 \cdot \frac{1}{2} = 45 - 18 = 27$ $BC = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5.20$ см По теореме синусов: $\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$ $\frac{3}{\sin C} = \frac{6}{\sin B} = \frac{3\sqrt{3}}{\sin 60^\circ}$ $\sin B = \frac{6 \cdot \sin 60^\circ}{3\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = 1$ Значит, $\angle B = 90^\circ$. $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$ **Ответ:** $BC = 3\sqrt{3} \approx 5.20$ см, $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = 30^\circ$.