Реши задачи по геометрии: найди величину угла, градусные меры углов, докажи, найди данный угол.

1. \( \angle BOM = \angle AOB - \angle AOM = 84^\circ - 35^\circ = 49^\circ \) 2. При пересечении двух прямых образуются две пары равных углов: вертикальные углы. Если один из углов равен 118°, то вертикальный с ним угол тоже равен 118°. Два других угла являются смежными с этими углами и равны \( 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ \). 3. Пусть один из смежных углов равен \( x \), тогда другой равен \( x + 34^\circ \). Сумма смежных углов равна 180°: \( x + x + 34^\circ = 180^\circ \) \( 2x = 146^\circ \) \( x = 73^\circ \) Тогда другой угол равен \( 73^\circ + 34^\circ = 107^\circ \). 4. Так как точка O — середина отрезка CD, то AO и BO являются медианами треугольников ACD и BCD соответственно. Рассмотрим треугольники \( \triangle AOC \) и \( \triangle BOD \). В них: \( AO = BO \) (по условию), \( CO = DO \) (так как O — середина CD), \( \angle AOC = \angle BOD \) (как вертикальные углы). Следовательно, \( \triangle AOC = \triangle BOD \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть \( AC = BD \), что и требовалось доказать. 5. Пусть данный угол равен \( \alpha \). Угол между биссектрисой и стороной угла равен половине угла, то есть \( \frac{\alpha}{2} \). Угол, дополнительный к стороне угла, равен \( 180^\circ - \alpha \). Тогда угол между биссектрисой и лучом, дополнительным к стороне угла, равен \( 180^\circ - \alpha + \frac{\alpha}{2} = 134^\circ \). Решим уравнение: \( 180^\circ - \frac{\alpha}{2} = 134^\circ \) \( \frac{\alpha}{2} = 46^\circ \) \( \alpha = 92^\circ \) 6. Пусть \( \angle ABD = x \), тогда \( \angle CBD = 3x \). Так как \( \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD \), то \( 36^\circ = x + 3x \). Решим уравнение: \( 4x = 36^\circ \) \( x = 9^\circ \) Следовательно, \( \angle ABD = 9^\circ \). **Ответы:** 1. \( \angle BOM = 49^\circ \) 2. 118°, 118°, 62°, 62° 3. 73°, 107° 4. Доказано. 5. \( 92^\circ \) 6. \( \angle ABD = 9^\circ \)