Докажи, что \triangle ABC = \triangle CDA, если отрезки AC и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажи, что \angle CBD = \angle DEC, если на сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E — на отрезке AD, причём AC = AD и AB = AE.

102. Отрезки $AC$ и $BD$ точкой пересечения делятся пополам. Нужно доказать, что $\triangle ABC = \triangle CDA$. Так как $AC$ и $BD$ делятся точкой пересечения пополам, то $ABCD$ — параллелограмм (по свойству диагоналей параллелограмма). В параллелограмме противоположные стороны равны, значит, $AB = CD$ и $BC = AD$. $AC$ — общая сторона. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). **Что и требовалось доказать.** 104. На сторонах угла $CAD$ отмечены точки $B$ и $E$ так, что точка $B$ лежит на отрезке $AC$, а точка $E$ — на отрезке $AD$, причём $AC = AD$ и $AB = AE$. Нужно доказать, что $\angle CBD = \angle DEC$. $ \begin{aligned} &\angle A \text{ - общий для } \triangle ABE \text{ и } \triangle ADC} \\ &AB = AE \text{ (по условию)} \\ &AC = AD \text{ (по условию)} \end{aligned} $ Тогда $\triangle ABE$ и $\triangle ADC$ — равнобедренные. $\angle ABE = \angle AEB = (180^\circ - \angle A) / 2$ $\angle ACD = \angle ADC = (180^\circ - \angle A) / 2$ Следовательно, $\angle ABE = \angle AEB = \angle ACD = \angle ADC$. Так как $AB = AE$ и $AC = AD$, то $BC = CD$. Рассмотрим $\triangle CBD$ и $\triangle DEC$: $\angle BCD = \angle EDC$ (так как $\angle ACD = \angle ADC$) $BC = CD$ $BD = DE$ Тогда $\triangle CBD = \triangle DEC$ (по первому признаку равенства треугольников). Следовательно, $\angle CBD = \angle DEC$. **Что и требовалось доказать.**