Является ли четырёхугольник прямоугольником, если все его углы равны; найди периметр треугольника, если в прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О, CD = 8 см, диагональ АС = 12 см; найди углы параллелограмма, если два угла в параллелограмме дают в сумме 170°; найди меньшую диагональ ромба, если периметр ромба равен 36 см, а острый угол равен 60°; найди длины отрезков, если стороны параллелограмма равны 8 и 3, а биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три части; докажи, что четырёхугольник BKDM - параллелограмм, если прямая, пересекающая диагональ BD параллелограмма АBCD в точке Е, пересекает его стороны АВ и CD в точках М и К соответственно, причём МЕ = КЕ.

1. 1) Нет, не является. Например, ромб. 2) Нет, не является. Например, ромб. 3) Нет, не является. Например, параллелограмм. 4) Да, является. 5) Нет, не является. Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90°), а значит, и четвёртый угол тоже должен быть 90°. 2. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, $AO = BO = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см. Периметр треугольника $AOB$ равен $AO + BO + AB$. Так как $AB = CD = 8$ см, то $P_{AOB} = 6 + 6 + 8 = 20$ см. **Ответ: 20 см** 3. Пусть один угол $x$, тогда второй $170 - x$. В параллелограмме углы попарно равны и сумма всех углов равна 360 градусам. Значит, $x + (170 - x) + x + (170 - x) = 360$. Отсюда, $340 = 360$, что неверно. Два угла не могут быть смежными. Значит, эти углы противоположные и равны. $x = 170/2 = 85$ градусам. Тогда другие два угла равны $(360 - 170)/2 = 190/2 = 95$ градусам. **Ответ: 85 и 95 градусов** 4. Сторона ромба равна $36/4 = 9$ см. Меньшая диагональ ромба лежит против меньшего угла, т.е. против угла в 60 градусов. Тогда ромб состоит из двух равносторонних треугольников со стороной 9 см. Тогда меньшая диагональ равна стороне ромба, т.е. 9 см. **Ответ: 9 см** 5. Пусть параллелограмм $ABCD$, $AB = CD = 8$ и $BC = AD = 3$. Биссектрисы углов $A$ и $B$ делят сторону $CD$ на три отрезка. Так как биссектрисы отсекают равнобедренные треугольники, то отрезки, прилежащие к сторонам $AD$ и $BC$, равны 3. Тогда средний отрезок равен $8 - 3 - 3 = 2$. **Ответ: 3, 3, 2** 6. Недостаточно данных для решения.