Реши задачи по геометрии: найди третью сторону треугольника, сторону BC и радиус описанной окружности, определи тип треугольника, периметр треугольника и радиус окружности.

1. Применим теорему косинусов, чтобы найти третью сторону $c$ треугольника: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$, где $a = 9\sqrt{2}$ см, $b = 11$ см, $\gamma = 135^\circ$. $\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Тогда: $c^2 = (9\sqrt{2})^2 + 11^2 - 2 \cdot 9\sqrt{2} \cdot 11 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$ $c^2 = 162 + 121 + 198 = 481$ $c = \sqrt{481} \approx 21.93$ см. **Ответ: $\sqrt{481}$ см** 2. Используем теорему синусов для нахождения стороны $BC$ (назовём её $a$): $\frac{a}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$ $\frac{a}{\sin 120^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}$ $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $a = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{3}$ $BC = 3\sqrt{3}$ см. Для нахождения радиуса описанной окружности $R$ используем формулу: $R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{3\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = 3$ Радиус описанной окружности равен 3 см. **Ответ: $BC = 3\sqrt{3}$ см, $R = 3$ см** 3. Проверим, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным. Для этого сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон: $13^2 = 169$ $10^2 + 7^2 = 100 + 49 = 149$ Так как $169 > 149$, то треугольник тупоугольный. **Ответ: тупоугольный** 4. Пусть одна сторона равна $x$, тогда другая равна $x + 8$. Третья сторона равна 28. Периметр равен $x + (x + 8) + 28 = 2x + 36$. По условию задачи, угол между сторонами $x$ и $x + 8$ равен $120^\circ$. Используем теорему косинусов: $28^2 = x^2 + (x + 8)^2 - 2x(x + 8)\cos 120^\circ$ $784 = x^2 + x^2 + 16x + 64 - 2x(x + 8)(-\frac{1}{2})$ $784 = 2x^2 + 16x + 64 + x^2 + 8x$ $3x^2 + 24x - 720 = 0$ $x^2 + 8x - 240 = 0$ Решим квадратное уравнение: $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 64 + 960 = 1024$ $x_1 = \frac{-8 + \sqrt{1024}}{2} = \frac{-8 + 32}{2} = 12$ $x_2 = \frac{-8 - 32}{2} = -20$ (не подходит, так как сторона не может быть отрицательной). Тогда одна сторона равна 12 см, другая 20 см. Периметр равен $12 + 20 + 28 = 60$ см. **Ответ: 60 см** 5. Используем теорему синусов для нахождения радиуса описанной окружности: $\frac{AB}{\sin C} = 2R$ $R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{20}{2\sin 60^\circ} = \frac{20}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ **Ответ: $\frac{20\sqrt{3}}{3}$ см**