Реши задачи 1-5 про треугольники и параллелограммы, используя теоремы косинусов и синусов.

1. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Значит, угол $C = 180^\circ - 110^\circ - 55^\circ = 15^\circ$. Наименьшая сторона лежит против наименьшего угла. Наименьший угол — $C$. **Ответ: Наименьшая сторона лежит напротив угла C.** 2. Пусть $a = 3$ см, $b = 5$ см, $\gamma = 120^\circ$. По теореме косинусов найдем третью сторону $c$: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$; $c^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ)$; $c^2 = 9 + 25 - 30 \cdot (-0.5)$; $c^2 = 34 + 15 = 49$; $c = \sqrt{49} = 7$ см. Периметр треугольника $P = a + b + c = 3 + 5 + 7 = 15$ см. **Ответ: 15 см** 3. Дано: $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 105^\circ$, $AC = 4$ см. Найти: остальные углы и стороны. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ$. По теореме синусов: $\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$ Найдем $BC$: $\frac{4}{\sin 30^\circ} = \frac{BC}{\sin 45^\circ}$ $BC = \frac{4 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{2} \approx 5.66$ см. Найдем $AB$: $\frac{4}{\sin 30^\circ} = \frac{AB}{\sin 105^\circ}$ $AB = \frac{4 \cdot \sin 105^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{4 \cdot \sin (60^\circ + 45^\circ)}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot (\sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ) = 8 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 2(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \approx 7.46$ см. **Ответ:** $\angle A = 45^\circ$, $BC \approx 5.66$ см, $AB \approx 7.46$ см. 4. Пусть стороны параллелограмма $a = 10$ см, $b = 16$ см, угол между ними $\alpha = 60^\circ$. Обозначим диагонали $d_1$ и $d_2$. По теореме косинусов: $d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$; $d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^\circ - \alpha) = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)$; $d_1^2 = 10^2 + 16^2 - 2 \cdot 10 \cdot 16 \cdot \cos(60^\circ) = 100 + 256 - 320 \cdot 0.5 = 356 - 160 = 196$; $d_1 = \sqrt{196} = 14$ см. $d_2^2 = 10^2 + 16^2 + 2 \cdot 10 \cdot 16 \cdot \cos(60^\circ) = 100 + 256 + 320 \cdot 0.5 = 356 + 160 = 516$; $d_2 = \sqrt{516} \approx 22.7$ см. **Ответ:** $d_1 = 14$ см, $d_2 \approx 22.7$ см. 5. **Допущение:** Пусть гипотенуза $c$, острый угол $\beta$. Надо найти биссектрису угла $A$ (второго острого угла). В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($C = 90^\circ$): $\angle A = 90^\circ - \beta$. Тогда $\angle CAB = 90^\circ - \beta$. Биссектриса делит угол $A$ пополам, поэтому угол между биссектрисой и катетом $AC$ равен $\frac{90^\circ - \beta}{2} = 45^\circ - \frac{\beta}{2}$. Пусть биссектриса равна $l$. Тогда, используя теорему синусов в треугольнике, образованном биссектрисой: $\frac{l}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin (45^\circ - \frac{\beta}{2})}$ Т.к. $a = c \cdot \cos(\beta)$, то $l = \frac{c \cdot \cos(\beta) \cdot \sin(\beta)}{\sin(45^\circ - \frac{\beta}{2})}$ **Ответ:** $l = \frac{c \cdot \cos(\beta) \cdot \sin(\beta)}{\sin(45^\circ - \frac{\beta}{2})}$