Найди стороны параллелограмма АВСД, если его периметр равен 60 см, а сторона АВ больше ВС в 2 раза.

1. Пусть сторона $BC = x$, тогда сторона $AB = 2x$. Периметр параллелограмма равен $2(AB + BC)$. $$2(2x + x) = 60$$ $$6x = 60$$ $$x = 10$$ Значит, $BC = AD = 10$ см, $AB = CD = 20$ см. 2. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Пусть угол $A = y$, тогда угол $B = y + 22^\circ$. $$y + y + 22^\circ = 180^\circ$$ $$2y = 158^\circ$$ $$y = 79^\circ$$ Значит, $\angle A = \angle C = 79^\circ$, $\angle B = \angle D = 101^\circ$. 3. В прямоугольной трапеции два угла прямые (равны $90^\circ$). Если больший угол равен $144^\circ$, то это не может быть прямой угол. Значит, второй угол не равен $90^\circ$, и он равен $144^\circ$. Тогда два других угла равны: $$360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 144^\circ = 36^\circ$$ Итак, углы трапеции: $90^\circ$, $90^\circ$, $144^\circ$, $36^\circ$. 4. Допущение: прямоугольник ABCD - прямоугольник. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. $AD = 23$ см, $\angle ABD = 30^\circ$. Тогда: $$BD = \frac{AD}{\cos(\angle ABD)} = \frac{23}{\cos(30^\circ)} = \frac{23}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{46}{\sqrt{3}} = \frac{46\sqrt{3}}{3}$$ Диагонали прямоугольника равны, значит, $AC = BD = \frac{46\sqrt{3}}{3}$ см. 5. Разделите отрезок на 7 равных частей (2 + 5 = 7). Отложите от начала отрезка 2 части, это и будет точка деления в отношении 2:5. 6. Допущение: диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами углов ромба. $\angle PKE = 20^\circ$, значит, $\angle MKE = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$. Так как в ромбе противоположные углы равны, $\angle MKE = \angle MRE = 40^\circ$. Сумма углов ромба равна $360^\circ$, а углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $180^\circ$. Тогда $\angle KMR = \angle KPR = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.