Реши неравенства и систему уравнений из варианта 4.

1. Решим неравенства: a) $5^{4-x} < \frac{1}{25}$ $5^{4-x} < 5^{-2}$ $4-x < -2$ $-x < -6$ $x > 6$ Ответ: $x \in (6;+\infty)$ б) $(\frac{1}{5})^{13-x} < 25$ $5^{-(13-x)} < 5^{2}$ $-(13-x) < 2$ $-13+x < 2$ $x < 15$ Ответ: $x \in (-\infty;15)$ 2. Найдем область определения функции: $y = \sqrt{(\frac{1}{3})^{4-2x} - \frac{1}{81}}$ $(\frac{1}{3})^{4-2x} - \frac{1}{81} \ge 0$ $(\frac{1}{3})^{4-2x} \ge \frac{1}{81}$ $3^{-(4-2x)} \ge 3^{-4}$ $-(4-2x) \ge -4$ $-4+2x \ge -4$ $2x \ge 0$ $x \ge 0$ Ответ: $x \in [0;+\infty)$ 3. Решим неравенства: a) $(\frac{2}{5})^{\frac{2x-7}{x+1}} \ge \frac{5}{2}$ $(\frac{2}{5})^{\frac{2x-7}{x+1}} \ge (\frac{2}{5})^{-1}$ $\frac{2x-7}{x+1} \le -1$ $\frac{2x-7}{x+1} + 1 \le 0$ $\frac{2x-7+x+1}{x+1} \le 0$ $\frac{3x-6}{x+1} \le 0$ $\frac{3(x-2)}{x+1} \le 0$ Метод интервалов: $x \in (-1;2]$ Ответ: $x \in (-1;2]$ б) $(0,36)^{5x-3} \le (\frac{5}{3})^{-2}$ $(\frac{36}{100})^{5x-3} \le (\frac{3}{5})^{2}$ $(\frac{9}{25})^{5x-3} \le (\frac{9}{25})^{1}$ $5x-3 \ge 1$ $5x \ge 4$ $x \ge \frac{4}{5}$ Ответ: $x \in [\frac{4}{5};+\infty)$ 4. Решим систему уравнений: $\begin{cases} 2^x - 2^y = 16 \\ x+y = 9 \end{cases}$ $\begin{cases} 2^x - 2^y = 16 \\ y = 9-x \end{cases}$ $2^x - 2^{9-x} = 16$ $2^x - \frac{2^9}{2^x} = 16$ $2^x - \frac{512}{2^x} = 16$ Замена: $t = 2^x$ $t - \frac{512}{t} = 16$ $t^2 - 16t - 512 = 0$ $D = 16^2 + 4 \cdot 512 = 256 + 2048 = 2304$ $\sqrt{D} = 48$ $t_1 = \frac{16+48}{2} = 32$ $t_2 = \frac{16-48}{2} = -16$ - не подходит, т.к. $2^x > 0$ $2^x = 32$ $2^x = 2^5$ $x = 5$ $y = 9-x = 9-5 = 4$ Ответ: $\begin{cases} x = 5 \\ y = 4 \end{cases}$