Найди градусную меру угла NPM, если угол NOP равен 35°

Обозначим точку пересечения прямой $q$ и перпендикуляра $MO$ как $A$, а точку пересечения прямой $q$ и перпендикуляра $NP$ как $B$. Угол $MOA$ прямой, так как $MO$ перпендикулярна $q$. Аналогично, угол $NPB$ тоже прямой. Рассмотрим четырехугольник $MABN$. Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Значит, $\angle MAB + \angle ABN + \angle BNM + \angle NMA = 360^\circ$. Так как $\angle MAB = \angle ABN = 90^\circ$, получаем $90^\circ + 90^\circ + \angle BNM + \angle NMA = 360^\circ$, $\angle BNM + \angle NMA = 180^\circ$. Теперь рассмотрим треугольник $MON$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Значит, $\angle NOP + \angle ONM + \angle OMN = 180^\circ$. Мы знаем, что $\angle NOP = 35^\circ$. Тогда $\angle ONM + \angle OMN = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ$. Заметим, что $\angle NPM = 90^\circ - \angle ONM$ и $\angle MOP = 90^\circ - \angle OMN$. Нам нужно найти угол $NPM$. Из условия равенства перпендикуляров $MO$ и $NP$ следует, что $MONP$ - прямоугольник. $\angle NPM = 90^\circ - \angle ONM$. Так как $\angle ONM + \angle OMN = 145^\circ$ и $MO = NP$, то $\angle ONM = \angle OMN = 145^\circ / 2 = 72.5^\circ$. $\angle NPM = 90^\circ - 72.5^\circ = 17.5^\circ$. **Ответ: 17,5°**