Определи, сколько баллов могли набрать четыре модели в сумме, если первая модель получила золотую медаль, вторая — серебряную медаль, третья — бронзовую медаль, четвёртая — похвальную грамоту и первая и четвёртая модели в сумме набрали на 19 баллов меньше, чем вторая и третья.

Пусть $x_1, x_2, x_3, x_4$ - баллы, набранные первой, второй, третьей и четвертой моделями соответственно. Из условия: * $x_1 \ge 35$ (первая модель получила золотую медаль) * $28 \le x_2 \le 34$ (вторая модель получила серебряную медаль) * $19 \le x_3 \le 27$ (третья модель получила бронзовую медаль) * $x_4 \le 18$ (четвертая модель получила похвальную грамоту) * $x_1 + x_4 + 19 = x_2 + x_3$ Нужно найти все возможные значения суммы $S = x_1 + x_2 + x_3 + x_4$. Выразим $x_4$ из последнего уравнения: $x_4 = x_2 + x_3 - x_1 - 19$. Так как $x_4 \le 18$, то $x_2 + x_3 - x_1 - 19 \le 18$, откуда $x_2 + x_3 - x_1 \le 37$. Выразим $S$ через $x_1, x_2, x_3$: $S = x_1 + x_2 + x_3 + x_2 + x_3 - x_1 - 19 = 2x_2 + 2x_3 - 19$. Поскольку $28 \le x_2 \le 34$ и $19 \le x_3 \le 27$, то $2 \cdot 28 + 2 \cdot 19 - 19 \le S \le 2 \cdot 34 + 2 \cdot 27 - 19$, $56 + 38 - 19 \le S \le 68 + 54 - 19$, $75 \le S \le 103$. Теперь нужно проверить, какие из этих значений действительно могут быть. Из $x_2 + x_3 - x_1 \le 37$ следует, что $x_1 \ge x_2 + x_3 - 37$. Так как $x_1 \ge 35$, то нужно найти такие $x_2$ и $x_3$, чтобы $x_2 + x_3 - 37 \le 35$, то есть $x_2 + x_3 \le 72$. Это выполнено всегда, так как $x_2 \le 34$ и $x_3 \le 27$, значит $x_2 + x_3 \le 61$. Если $x_2 = 28$ и $x_3 = 19$, то $S = 2 \cdot 28 + 2 \cdot 19 - 19 = 56 + 38 - 19 = 75$. Тогда $x_1 = x_2 + x_3 - x_4 - 19 = 28 + 19 - x_4 - 19 = 28 - x_4$. Так как $x_1 \ge 35$, то $28 - x_4 \ge 35$, что невозможно, так как $x_4 \le 18$. Если $x_2 = 34$ и $x_3 = 27$, то $S = 2 \cdot 34 + 2 \cdot 27 - 19 = 68 + 54 - 19 = 103$. Тогда $x_1 = x_2 + x_3 - x_4 - 19 = 34 + 27 - x_4 - 19 = 42 - x_4$. Так как $x_1 \ge 35$, то $42 - x_4 \ge 35$, то есть $x_4 \le 7$. Например, $x_4 = 7$, тогда $x_1 = 35$. Таким образом, минимальная сумма невозможна, а максимальная возможна. Рассмотрим $S = 76$. Тогда $2x_2 + 2x_3 = 95$, что невозможно, так как $x_2$ и $x_3$ целые числа. Следовательно, $S$ всегда нечетное число. $S = 77$. Тогда $2x_2 + 2x_3 = 96$, $x_2 + x_3 = 48$. $x_1 = x_2 + x_3 - x_4 - 19 = 48 - x_4 - 19 = 29 - x_4$. Так как $x_1 \ge 35$, то $29 - x_4 \ge 35$, что невозможно. Проверим $S = 101$. Тогда $2x_2 + 2x_3 = 120$, $x_2 + x_3 = 60$. $x_1 = 60 - x_4 - 19 = 41 - x_4$. $x_1 \ge 35$, значит $41 - x_4 \ge 35$, $x_4 \le 6$. Возьмем $x_4 = 6$. $x_1 = 35$. $x_2 + x_3 = 60$. Например, $x_2 = 33$, $x_3 = 27$. Тогда $S = 35 + 33 + 27 + 6 = 101$. Проверим $S = 99$. $2x_2 + 2x_3 = 118$, $x_2 + x_3 = 59$. $x_1 = 59 - x_4 - 19 = 40 - x_4$. $x_1 \ge 35$, значит $40 - x_4 \ge 35$, $x_4 \le 5$. Возьмем $x_4 = 5$. $x_1 = 35$. $x_2 + x_3 = 59$. Например, $x_2 = 32$, $x_3 = 27$. Тогда $S = 35 + 32 + 27 + 5 = 99$. Все возможные значения для $S$ - это нечетные числа от 77 до 103, для которых можно подобрать подходящие $x_1, x_2, x_3, x_4$. **Ответ: 99, 101, 103**