Реши уравнения и задачу про велосипедистов

Привет! Давай решим эти уравнения по порядку: 1. **а) $-9 + x = 3x - 7$** * Перенесем все $x$ в одну сторону, а числа в другую: $$x - 3x = -7 + 9$$ $$-2x = 2$$ * Теперь разделим обе части на $-2$: $$x = -1$$ **Ответ: $x = -1$** 2. **а) $x^3 - 81x = 0$** * Вынесем $x$ за скобки: $$x(x^2 - 81) = 0$$ * Теперь у нас есть два случая: * $x = 0$ * $x^2 - 81 = 0$, тогда $x^2 = 81$, и $x = \pm 9$ **Ответ: $x = 0, x = 9, x = -9$** 3. **$x^4 + 6x^2 - 27 = 0$** * Сделаем замену $t = x^2$, тогда уравнение станет: $$t^2 + 6t - 27 = 0$$ * Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = 6^2 - 4(1)(-27) = 36 + 108 = 144$$ $$t_1 = \frac{-6 + \sqrt{144}}{2} = \frac{-6 + 12}{2} = 3$$ $$t_2 = \frac{-6 - \sqrt{144}}{2} = \frac{-6 - 12}{2} = -9$$ * Вернемся к замене: * $x^2 = 3$, тогда $x = \pm \sqrt{3}$ * $x^2 = -9$, тогда $x = \pm 3i$ (комплексные корни, если их нужно учитывать) **Ответ: $x = \sqrt{3}, x = -\sqrt{3}$** (если рассматриваем только действительные корни) 4. **$\frac{5}{x-1} + \frac{30}{x+1} = 5$** * Приведем к общему знаменателю: $$\frac{5(x+1) + 30(x-1)}{(x-1)(x+1)} = 5$$ $$\frac{5x + 5 + 30x - 30}{x^2 - 1} = 5$$ $$\frac{35x - 25}{x^2 - 1} = 5$$ * Умножим обе части на $x^2 - 1$: $$35x - 25 = 5(x^2 - 1)$$ $$35x - 25 = 5x^2 - 5$$ * Перенесем все в одну сторону: $$5x^2 - 35x + 20 = 0$$ * Разделим на 5: $$x^2 - 7x + 4 = 0$$ * Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = (-7)^2 - 4(1)(4) = 49 - 16 = 33$$ $$x_1 = \frac{7 + \sqrt{33}}{2}$$ $$x_2 = \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$$ **Ответ: $x = \frac{7 + \sqrt{33}}{2}, x = \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$** 5. **Задача про велосипедистов** Допущение: Надо найти скорость второго велосипедиста (того, кто пришел к финишу вторым). Пусть скорость второго велосипедиста равна $v$ км/ч, тогда скорость первого велосипедиста равна $v + 10$ км/ч. Время, которое потратил второй велосипедист: $t_2 = \frac{60}{v}$. Время, которое потратил первый велосипедист: $t_1 = \frac{60}{v + 10}$. Из условия $t_2 - t_1 = 3$ часа. Получаем уравнение: $$\frac{60}{v} - \frac{60}{v + 10} = 3$$ Умножим обе части на $v(v+10)$: $$60(v + 10) - 60v = 3v(v + 10)$$ $$60v + 600 - 60v = 3v^2 + 30v$$ $$3v^2 + 30v - 600 = 0$$ Разделим на 3: $$v^2 + 10v - 200 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = 10^2 - 4(1)(-200) = 100 + 800 = 900$$ $$v_1 = \frac{-10 + \sqrt{900}}{2} = \frac{-10 + 30}{2} = 10$$ $$v_2 = \frac{-10 - \sqrt{900}}{2} = \frac{-10 - 30}{2} = -20$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то $v = 10$ км/ч. **Ответ: 10 км/ч**