Конечно, помогу решить иррациональные уравнения!
1. $\sqrt{14-5x} = 3$
$$14-5x = 9$$
$$5x = 5$$
$$x = 1$$
**Ответ: x = 1**
2. $\sqrt{2x+3} = x$
$$2x+3 = x^2$$
$$x^2 - 2x - 3 = 0$$
$$D = (-2)^2 - 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16$$
$$x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$
$$x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$$
Проверка:
$\sqrt{2*3+3} = \sqrt{9} = 3$ - верно
$\sqrt{2*(-1)+3} = \sqrt{1} = 1 \ne -1$ - неверно
**Ответ: x = 3**
3. $x+1 = \sqrt{8-4x}$
$$(x+1)^2 = 8-4x$$
$$x^2 + 2x + 1 = 8 - 4x$$
$$x^2 + 6x - 7 = 0$$
$$D = 6^2 - 4*1*(-7) = 36 + 28 = 64$$
$$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 + 8}{2} = 1$$
$$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 - 8}{2} = -7$$
Проверка:
$$1 + 1 = \sqrt{8 - 4*1}$$
$$2 = \sqrt{4}$$
$$2 = 2$$- верно
$$-7 + 1 = \sqrt{8 - 4*(-7)}$$
$$-6 = \sqrt{36}$$
$$-6 = 6$$- неверно
**Ответ: x = 1**
4. $\sqrt{x+3} = \sqrt{5-x}$
$$x+3 = 5-x$$
$$2x = 2$$
$$x = 1$$
Проверка:
$\sqrt{1+3} = \sqrt{5-1}$$
$$\sqrt{4} = \sqrt{4}$$
$$2 = 2$$- верно
**Ответ: x = 1**
5. $\sqrt{4x^2-3x-1} = x+1$
$$4x^2 - 3x - 1 = (x+1)^2$$
$$4x^2 - 3x - 1 = x^2 + 2x + 1$$
$$3x^2 - 5x - 2 = 0$$
$$D = (-5)^2 - 4*3*(-2) = 25 + 24 = 49$$
$$x_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2*3} = \frac{5 + 7}{6} = 2$$
$$x_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2*3} = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3}$$
Проверка:
$\sqrt{4*2^2 - 3*2 - 1} = 2 + 1$$
$$\sqrt{16 - 6 - 1} = 3$$
$$\sqrt{9} = 3$$
$$3 = 3$$- верно
$\sqrt{4*(-1/3)^2 - 3*(-1/3) - 1} = -\frac{1}{3} + 1$$
$$\sqrt{\frac{4}{9} + 1 - 1} = \frac{2}{3}$$
$$\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$$
$$\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$$- верно
**Ответ: x = 2, x = -1/3**
6. $\sqrt{x+17} - \sqrt{x+1} = 2$
$\sqrt{x+17} = 2 + \sqrt{x+1}$$
$$x+17 = 4 + 4\sqrt{x+1} + x + 1$$
$$12 = 4\sqrt{x+1}$$
$$3 = \sqrt{x+1}$$
$$9 = x + 1$$
$$x = 8$$
Проверка:
$\sqrt{8+17} - \sqrt{8+1} = 2$
$$\sqrt{25} - \sqrt{9} = 2$$
$$5 - 3 = 2$$
$$2 = 2$$- верно
**Ответ: x = 8**
7. $\sqrt{x+7} - \sqrt{x+2} = \sqrt{3x+19}$
$$(\sqrt{x+7} - \sqrt{x+2})^2 = (\sqrt{3x+19})^2$$
$$x+7 - 2\sqrt{(x+7)(x+2)} + x + 2 = 3x + 19$$
$$2x + 9 - 2\sqrt{x^2 + 9x + 14} = 3x + 19$$
$$-2\sqrt{x^2 + 9x + 14} = x + 10$$
$$4(x^2 + 9x + 14) = (x + 10)^2$$
$$4x^2 + 36x + 56 = x^2 + 20x + 100$$
$$3x^2 + 16x - 44 = 0$$
$$D = 16^2 - 4 * 3 * (-44) = 256 + 528 = 784$$
$$x_1 = \frac{-16 + \sqrt{784}}{2 * 3} = \frac{-16 + 28}{6} = 2$$
$$x_2 = \frac{-16 - \sqrt{784}}{2 * 3} = \frac{-16 - 28}{6} = -\frac{22}{3}$$
Проверка:
$\sqrt{2+7} - \sqrt{2+2} = \sqrt{3*2+19}$$
$$\sqrt{9} - \sqrt{4} = \sqrt{25}$$
$$3 - 2 = 5$$
$$1 = 5$$- неверно
$\sqrt{-\frac{22}{3}+7} - \sqrt{-\frac{22}{3}+2} = \sqrt{3*(-\frac{22}{3})+19}$$
$$\sqrt{-\frac{1}{3}} - \sqrt{-\frac{16}{3}} = \sqrt{-3}$$
Выражения не имеют смысла.
**Ответ: нет решений**
8. $3-x = \sqrt{9 - \sqrt{36x^2 - 5x^4}}$
Допустим, что уравнение имеет смысл при $36x^2 - 5x^4 >= 0$, тогда:
$$x^2(36 - 5x^2) >= 0$$
Отсюда, $x = 0$ или $36 - 5x^2 >= 0$, то есть $x^2 <= \frac{36}{5}$, откуда $|x| <= \sqrt{\frac{36}{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} \approx 2.68$$
А так как $3-x >= 0$ из исходного уравнения, то $x <= 3$.
Возводим обе части в квадрат:
$$(3-x)^2 = 9 - \sqrt{36x^2 - 5x^4}$$
$$9 - 6x + x^2 = 9 - \sqrt{36x^2 - 5x^4}$$
$$x^2 - 6x = -\sqrt{36x^2 - 5x^4}$$
$$x(x - 6) = -\sqrt{36x^2 - 5x^4}$$
Возводим обе части в квадрат еще раз:
$$x^2(x - 6)^2 = 36x^2 - 5x^4$$
$$x^2(x^2 - 12x + 36) = 36x^2 - 5x^4$$
$$x^4 - 12x^3 + 36x^2 = 36x^2 - 5x^4$$
$$6x^4 - 12x^3 = 0$$
$$6x^3(x - 2) = 0$$
Отсюда, $x = 0$ или $x = 2$.
Проверка:
При $x = 0$:
$$3 - 0 = \sqrt{9 - \sqrt{0}}$$
$$3 = \sqrt{9}$$
$$3 = 3$$- верно.
При $x = 2$:
$$3 - 2 = \sqrt{9 - \sqrt{36*4 - 5*16}}$$
$$1 = \sqrt{9 - \sqrt{144 - 80}}$$
$$1 = \sqrt{9 - \sqrt{64}}$$
$$1 = \sqrt{9 - 8}$$
$$1 = \sqrt{1}$$
$$1 = 1$$- верно.
**Ответ: x = 0, x = 2**
