Найди меньшее основание в равнобедренной трапеции, если диагональ является биссектрисой острого угла, периметр трапеции равен 14 см, а большее основание — 5 см. Найди углы трапеции, если в равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне и известно, что боковая сторона в два раза меньше большего основания.

1. Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, где AD - большее основание, BC - меньшее основание. Диагональ AC является биссектрисой угла BAD. Значит, угол BAC равен углу CAD. Так как трапеция равнобедренная, угол CAD равен углу BCA (как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AC). Получается, что треугольник ABC - равнобедренный (углы BAC и BCA равны). Следовательно, боковая сторона AB равна меньшему основанию BC. Периметр трапеции равен сумме всех сторон: P = AB + BC + CD + AD. Так как AB = CD (трапеция равнобедренная) и AB = BC, можно записать: P = BC + BC + BC + AD = 3BC + AD. Из условия известно, что P = 14 см, AD = 5 см. Подставим эти значения в уравнение: 14 = 3BC + 5. Решим уравнение относительно BC: $$3BC = 14 - 5$$ $$3BC = 9$$ $$BC = 3$$ **Ответ: меньшее основание равно 3 см.** 2. Пусть в равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD. Большее основание AD, а боковая сторона CD в два раза меньше большего основания, то есть $CD = \frac{1}{2}AD$. Так как трапеция равнобедренная, углы при большем основании равны. Обозначим угол CDA как $\alpha$. Тогда угол DAB также равен $\alpha$. В треугольнике ACD угол ACD равен $90^\circ$, так как AC перпендикулярна CD. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол CAD равен $90^\circ - \alpha$. Диагональ AC образует угол CAD, который равен $90^\circ - \alpha$. Тогда угол BAC равен углу DAB минус угол CAD, то есть $\alpha - (90^\circ - \alpha) = 2\alpha - 90^\circ$. Так как трапеция равнобедренная, угол ABC равен углу BCD. Угол BCD состоит из двух углов: ACD (который равен $90^\circ$) и угла BCA. Значит, угол BCD равен $90^\circ + $ угол BCA. Угол BCA равен углу CAD, то есть $90^\circ - \alpha$. Теперь мы знаем, что угол BCD равен $90^\circ + (90^\circ - \alpha) = 180^\circ - \alpha$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. То есть, угол CDA + угол BCD = $180^\circ$. Подставим известные значения: $\alpha + (180^\circ - \alpha) = 180^\circ$. Так как CD = BC (трапеция равнобедренная), то треугольник ABC - равнобедренный, и угол BAC = углу BCA. Рассмотрим треугольник ACD. Известно, что $CD = \frac{1}{2}AD$. Пусть CD = x, тогда AD = 2x. Используем теорему синусов: $$\frac{CD}{\sin(CAD)} = \frac{AD}{\sin(ACD)}$$ $$\frac{x}{\sin(90^\circ - \alpha)} = \frac{2x}{\sin(90^\circ)}$$ $$\frac{x}{\cos(\alpha)} = \frac{2x}{1}$$ $$\cos(\alpha) = \frac{1}{2}$$ Значит, $\alpha = 60^\circ$. Тогда угол DAB = $60^\circ$, угол CDA = $60^\circ$. Угол ABC = $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$, угол BCD = $120^\circ$. **Ответ: углы трапеции: 60°, 60°, 120°, 120°.**