Упрости выражения: a) 5/(x^2 + 5x) + (x + 15)/(25 - x^2), б) 1/(x+3) + 9x/(x^3 + 27), в) 2/x + 12/(x^2 - 6x) - (1-x)/(x-6)

a) Давай упростим выражение $\frac{5}{x^2 + 5x} + \frac{x + 15}{25 - x^2}$. Сначала разложим знаменатели на множители: $x^2 + 5x = x(x + 5)$ $25 - x^2 = (5 - x)(5 + x) = -(x - 5)(x + 5)$ Теперь перепишем выражение: $\frac{5}{x(x + 5)} + \frac{x + 15}{-(x - 5)(x + 5)} = \frac{5}{x(x + 5)} - \frac{x + 15}{(x - 5)(x + 5)}$ Приведем к общему знаменателю, общий знаменатель будет $x(x + 5)(x - 5)$: $\frac{5(x - 5)}{x(x + 5)(x - 5)} - \frac{(x + 15)x}{x(x - 5)(x + 5)} = \frac{5x - 25 - x^2 - 15x}{x(x + 5)(x - 5)} = \frac{-x^2 - 10x - 25}{x(x + 5)(x - 5)}$ Заметим, что $-x^2 - 10x - 25 = -(x^2 + 10x + 25) = -(x + 5)^2$ Тогда выражение можно переписать так: $\frac{-(x + 5)^2}{x(x + 5)(x - 5)} = \frac{-(x + 5)}{x(x - 5)} = -\frac{x + 5}{x(x - 5)}$ **Ответ: $-\frac{x + 5}{x(x - 5)}$** б) Упростим выражение $\frac{1}{x + 3} + \frac{9x}{x^3 + 27}$. Заметим, что $x^3 + 27 = x^3 + 3^3$, что можно разложить как сумму кубов: $x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$. Теперь перепишем выражение: $\frac{1}{x + 3} + \frac{9x}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)}$ Приведем к общему знаменателю, общий знаменатель будет $(x + 3)(x^2 - 3x + 9)$: $\frac{x^2 - 3x + 9}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} + \frac{9x}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} = \frac{x^2 - 3x + 9 + 9x}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} = \frac{x^2 + 6x + 9}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)}$ Заметим, что $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ Тогда выражение можно переписать так: $\frac{(x + 3)^2}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} = \frac{x + 3}{x^2 - 3x + 9}$ **Ответ: $\frac{x + 3}{x^2 - 3x + 9}$** в) Упростим выражение $\frac{2}{x} + \frac{12}{x^2 - 6x} - \frac{1 - x}{x - 6}$. Сначала разложим знаменатель $x^2 - 6x = x(x - 6)$. Теперь перепишем выражение: $\frac{2}{x} + \frac{12}{x(x - 6)} - \frac{1 - x}{x - 6}$ Приведем к общему знаменателю, общий знаменатель будет $x(x - 6)$: $\frac{2(x - 6)}{x(x - 6)} + \frac{12}{x(x - 6)} - \frac{(1 - x)x}{x(x - 6)} = \frac{2x - 12 + 12 - x + x^2}{x(x - 6)} = \frac{x^2 + x}{x(x - 6)}$ Вынесем x в числителе: $\frac{x(x + 1)}{x(x - 6)} = \frac{x + 1}{x - 6}$ **Ответ: $\frac{x + 1}{x - 6}$**