Реши задачи по геометрии: 1) Одна из сторон параллелограмма на 7 см меньше другой, а его периметр равен 54 см. Найди стороны параллелограмма.

1. Пусть одна сторона параллелограмма равна $x$ см, тогда другая сторона равна $(x - 7)$ см. Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон, то есть $2x + 2(x - 7) = 54$. Решим это уравнение: $2x + 2x - 14 = 54$ $4x = 68$ $x = 17$ Значит, одна сторона равна 17 см, а другая $17 - 7 = 10$ см. **Ответ: 10 см, 17 см** 2. Допущение: Прямоугольник $ABCD$. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, $AO = OD = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см. Периметр треугольника $AOD$ равен $AO + OD + AD = 12 + 12 + 16 = 40$ см. **Ответ: 40 см** 3. В ромбе диагональ является биссектрисой угла. Значит, угол между диагоналями равен $18°$. Пусть $x$ - больший угол ромба, тогда $x = 2 \cdot (90° - 18°) = 2 \cdot 72° = 144°$. Меньший угол ромба равен $180° - 144° = 36°$. **Ответ: $36°$ и $144°$** 4. Дано: $AE = CF$, $ABCD$ - параллелограмм. Доказать: $BE = DF$. Доказательство: Т.к. $ABCD$ - параллелограмм, то $AB = CD$ и $\angle BAC = \angle DCA$. Если $AE = CF$, то $AE + EC = CF + EC$, значит, $AC = EF$. Рассмотрим треугольники $ABE$ и $CDF$: $AB = CD$, $AE = CF$, $\angle BAC = \angle DCA$. Следовательно, $\triangle ABE = \triangle CDF$ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что $BE = DF$. Что и требовалось доказать. 5. Пусть $AK = 3x$, тогда $KD = 2x$. Значит, $AD = AK + KD = 3x + 2x = 5x$. Т.к. $ABCD$ - параллелограмм, то $BC = AD = 5x$. Периметр параллелограмма равен $2(AB + AD) = 2(12 + 5x)$. Рассмотрим треугольник $ABK$. Т.к. $BK$ - биссектриса, то $\angle ABK = \angle CBK$. Т.к. $ABCD$ - параллелограмм, то $BC \parallel AD$, значит, $\angle CBK = \angle AKB$ (как накрест лежащие). Следовательно, $\angle ABK = \angle AKB$, значит, треугольник $ABK$ - равнобедренный, и $AB = AK = 12$ см. Тогда $3x = 12$, $x = 4$. Значит, $AD = 5 \cdot 4 = 20$ см. Периметр параллелограмма равен $2(12 + 20) = 2 \cdot 32 = 64$ см. **Ответ: 64 см**