Реши примеры и покажи по действиям и объясни их решения

Привет! Давай решим эти примеры по логарифмам. Логарифм числа $b$ по основанию $a$ — это степень, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$. То есть, $\log_a b = x$ означает $a^x = b$. **Задание 267** 1) $\log_2 16$ * $2^x = 16$. Так как $2^4 = 16$, то $\log_2 16 = 4$. 2) $\log_2 64$ * $2^x = 64$. Так как $2^6 = 64$, то $\log_2 64 = 6$. 3) $\log_2 2$ * $2^x = 2$. Так как $2^1 = 2$, то $\log_2 2 = 1$. 4) $\log_2 1$ * $2^x = 1$. Так как $2^0 = 1$, то $\log_2 1 = 0$. **Задание 268** 1) $\log_2 \frac{1}{2}$ * $2^x = \frac{1}{2}$. Так как $2^{-1} = \frac{1}{2}$, то $\log_2 \frac{1}{2} = -1$. 2) $\log_2 \frac{1}{8}$ * $2^x = \frac{1}{8}$. Так как $2^{-3} = \frac{1}{8}$, то $\log_2 \frac{1}{8} = -3$. 3) $\log_2 \sqrt{2}$ * $2^x = \sqrt{2}$. Так как $2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$, то $\log_2 \sqrt{2} = \frac{1}{2}$. 4) $\log_2 \frac{1}{\sqrt{2}}$ * $2^x = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Так как $2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то $\log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{2}$. **Задание 269** 1) $\log_3 27$ * $3^x = 27$. Так как $3^3 = 27$, то $\log_3 27 = 3$. 2) $\log_3 81$ * $3^x = 81$. Так как $3^4 = 81$, то $\log_3 81 = 4$. 3) $\log_3 3$ * $3^x = 3$. Так как $3^1 = 3$, то $\log_3 3 = 1$. 4) $\log_3 1$ * $3^x = 1$. Так как $3^0 = 1$, то $\log_3 1 = 0$. **Задание 270** 1) $\log_3 \frac{1}{9}$ * $3^x = \frac{1}{9}$. Так как $3^{-2} = \frac{1}{9}$, то $\log_3 \frac{1}{9} = -2$. 2) $\log_3 \frac{1}{3}$ * $3^x = \frac{1}{3}$. Так как $3^{-1} = \frac{1}{3}$, то $\log_3 \frac{1}{3} = -1$. 3) $\log_3 \sqrt[4]{3}$ * $3^x = \sqrt[4]{3}$. Так как $3^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{3}$, то $\log_3 \sqrt[4]{3} = \frac{1}{4}$. 4) $\log_3 \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ * $3^x = \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$. Так как $3^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$, то $\log_3 \frac{1}{\sqrt[4]{3}} = -\frac{1}{4}$. **Задание 271** 1) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32}$ * $(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{32}$. Так как $(\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$, то $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32} = 5$. 2) $\log_{\frac{1}{2}} 4$ * $(\frac{1}{2})^x = 4$. Так как $(\frac{1}{2})^{-2} = 4$, то $\log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$. 3) $\log_{0.5} 0.125$ * $(0.5)^x = 0.125$. Так как $(0.5)^3 = 0.125$, то $\log_{0.5} 0.125 = 3$. 4) $\log_{0.5} \frac{1}{2}$ * $(0.5)^x = \frac{1}{2}$. Так как $(0.5)^1 = \frac{1}{2}$, то $\log_{0.5} \frac{1}{2} = 1$. 5) $\log_{0.5} 1$ * $(0.5)^x = 1$. Так как $(0.5)^0 = 1$, то $\log_{0.5} 1 = 0$. 6) $\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2}$ * $(\frac{1}{2})^x = \sqrt[3]{2}$. Так как $(\frac{1}{2})^{-\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$, то $\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2} = -\frac{1}{3}$. **Задание 272** 1) $\log_5 625$ * $5^x = 625$. Так как $5^4 = 625$, то $\log_5 625 = 4$. 2) $\log_6 216$ * $6^x = 216$. Так как $6^3 = 216$, то $\log_6 216 = 3$. 3) $\log_4 \frac{1}{16}$ * $4^x = \frac{1}{16}$. Так как $4^{-2} = \frac{1}{16}$, то $\log_4 \frac{1}{16} = -2$. 4) $\log_5 \frac{1}{125}$ * $5^x = \frac{1}{125}$. Так как $5^{-3} = \frac{1}{125}$, то $\log_5 \frac{1}{125} = -3$. **Задание 273** 1) $\log_{\frac{1}{5}} 125$ * $(\frac{1}{5})^x = 125$. Так как $(\frac{1}{5})^{-3} = 125$, то $\log_{\frac{1}{5}} 125 = -3$. 2) $\log_{\frac{1}{3}} 27$ * $(\frac{1}{3})^x = 27$. Так как $(\frac{1}{3})^{-3} = 27$, то $\log_{\frac{1}{3}} 27 = -3$. 3) $\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{64}$ * $(\frac{1}{4})^x = \frac{1}{64}$. Так как $(\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$, то $\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{64} = 3$. 4) $\log_{\frac{1}{6}} 36$ * $(\frac{1}{6})^x = 36$. Так как $(\frac{1}{6})^{-2} = 36$, то $\log_{\frac{1}{6}} 36 = -2$. **Задание 274** 1) $3^{\log_3 18}$ * $3^{\log_3 18} = 18$ (по основному логарифмическому тождеству). 2) $5^{\log_5 16}$ * $5^{\log_5 16} = 16$ (по основному логарифмическому тождеству). 3) $10^{\log_{10} 2}$ * $10^{\log_{10} 2} = 2$ (по основному логарифмическому тождеству). 4) $(\frac{1}{4})^{\log_{\frac{1}{4}} 6}$ * $(\frac{1}{4})^{\log_{\frac{1}{4}} 6} = 6$ (по основному логарифмическому тождеству). **Задание 275** 1) $3^{5 \log_3 2}$ * $3^{5 \log_3 2} = 3^{\log_3 2^5} = 3^{\log_3 32} = 32$. 2) $(\frac{1}{2})^{6 \log_{\frac{1}{2}} 2}$ * $(\frac{1}{2})^{6 \log_{\frac{1}{2}} 2} = (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 2^6} = (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 64} = 64$. 3) $0.3^{2 \log_{0.3} 6}$ * $0.3^{2 \log_{0.3} 6} = 0.3^{\log_{0.3} 6^2} = 0.3^{\log_{0.3} 36} = 36$. 4) $7^{\frac{1}{2} \log_7 9}$ * $7^{\frac{1}{2} \log_7 9} = 7^{\log_7 9^{\frac{1}{2}}} = 7^{\log_7 \sqrt{9}} = 7^{\log_7 3} = 3$. **Задание 276** 1) $8^{\log_2 5}$ * $8^{\log_2 5} = (2^3)^{\log_2 5} = 2^{3 \log_2 5} = 2^{\log_2 5^3} = 2^{\log_2 125} = 125$. 2) $9^{\log_3 12}$ * $9^{\log_3 12} = (3^2)^{\log_3 12} = 3^{2 \log_3 12} = 3^{\log_3 12^2} = 3^{\log_3 144} = 144$. 3) $16^{\log_4 7}$ * $16^{\log_4 7} = (4^2)^{\log_4 7} = 4^{2 \log_4 7} = 4^{\log_4 7^2} = 4^{\log_4 49} = 49$. 4) $0.125^{\log_{0.5} 1}$ * $0.125^{\log_{0.5} 1} = 0.125^0 = 1$, так как $\log_{0.5} 1 = 0$. **Задание 277** 1) $\log_6 x = 3$ * $x = 6^3 = 216$. 2) $\log_5 x = 4$ * $x = 5^4 = 625$. 3) $\log_2 (5 - x) = 3$ * $5 - x = 2^3$ * $5 - x = 8$ * $x = 5 - 8 = -3$. 4) $\log_3 (x + 2) = 3$ * $x + 2 = 3^3$ * $x + 2 = 27$ * $x = 27 - 2 = 25$. 5) $\log_{\frac{1}{6}} (0.5 + x) = -1$ * $0.5 + x = (\frac{1}{6})^{-1}$ * $0.5 + x = 6$ * $x = 6 - 0.5 = 5.5$. Надеюсь, теперь тебе стало понятнее, как решать такие примеры!