Реши задачи по теме «Решение треугольников»: найди третью сторону и площадь треугольника, сторону AB треугольника, определи тип треугольника, найди периметр треугольника и площадь равнобедренного треугольника.

Решаю задачи по геометрии из контрольной работы. Вот решения: 1. По теореме косинусов найдем третью сторону $c$: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma) = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot cos(120^\circ) = 100 + 144 - 240 \cdot (-0.5) = 244 + 120 = 364$ $c = \sqrt{364} \approx 19.08$ см Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2}ab \cdot sin(\gamma) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot sin(120^\circ) = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3} \approx 51.96$ см$^2$ 2. По теореме синусов: $\frac{AB}{sin(C)} = \frac{AC}{sin(B)}$ $AB = \frac{AC \cdot sin(C)}{sin(B)} = \frac{5\sqrt{2} \cdot sin(30^\circ)}{sin(45^\circ)} = \frac{5\sqrt{2} \cdot 0.5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{2} \cdot 0.5 \cdot 2}{\sqrt{2}} = 5$ см 3. Проверим, какой треугольник: $a = 6, b = 8, c = 11$ $c^2 = 121$ $a^2 + b^2 = 36 + 64 = 100$ Т.к. $c^2 > a^2 + b^2$, то треугольник тупоугольный. 4. Пусть $a = x, b = x + 3, c = 7$. Угол между сторонами $a$ и $b$ равен $60^\circ$. По теореме косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(60^\circ)$ $7^2 = x^2 + (x+3)^2 - 2x(x+3) \cdot 0.5$ $49 = x^2 + x^2 + 6x + 9 - x^2 - 3x$ $x^2 + 3x - 40 = 0$ $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169$ $x_1 = \frac{-3 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-3 + 13}{2} = 5$ $x_2 = \frac{-3 - 13}{2} = -8$ (не подходит, т.к. сторона не может быть отрицательной) $a = 5, b = 5 + 3 = 8, c = 7$ Периметр $P = a + b + c = 5 + 8 + 7 = 20$ см 5. В равнобедренном треугольнике боковая сторона $a = 6$ см, угол при вершине $\alpha = 60^\circ$. Т.к. треугольник равнобедренный и угол при вершине $60^\circ$, то все углы равны $60^\circ$, и треугольник является равносторонним. Тогда площадь $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \approx 15.59$ см$^2$