Реши уравнения и неравенства, а также исследуй функцию и построй её график.

Привет! Давай решим эти задания по иррациональным уравнениям и неравенствам. **1. Решите уравнения:** 1. $25 + \sqrt{x} = 0$ $\sqrt{x} = -25$ Так как квадратный корень не может быть отрицательным, то **решений нет**. 2. $\sqrt{5 - x} = 4$ Возводим обе части в квадрат: $5 - x = 16$ $x = 5 - 16$ $x = -11$ Проверяем: $\sqrt{5 - (-11)} = \sqrt{16} = 4$. Всё верно! **Ответ: -11** 3. $\sqrt{2x} - 1 = x - 2$ $\sqrt{2x} = x - 1$ Возводим обе части в квадрат: $2x = (x - 1)^2$ $2x = x^2 - 2x + 1$ $x^2 - 4x + 1 = 0$ Решаем квадратное уравнение: $D = (-4)^2 - 4 Imes 1 Imes 1 = 16 - 4 = 12$ $x_1 = \frac{4 + \sqrt{12}}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$ $x_2 = \frac{4 - \sqrt{12}}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$ Проверяем: Для $x_1 = 2 + \sqrt{3}$: $\sqrt{2(2 + \sqrt{3})} - 1 = 2 + \sqrt{3} - 2$ $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - 1 = \sqrt{3}$ $\sqrt{(1 + \sqrt{3})^2} - 1 = \sqrt{3}$ $1 + \sqrt{3} - 1 = \sqrt{3}$ $\sqrt{3} = \sqrt{3}$. Верно! Для $x_2 = 2 - \sqrt{3}$: $\sqrt{2(2 - \sqrt{3})} - 1 = 2 - \sqrt{3} - 2$ $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} - 1 = -\sqrt{3}$ $\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} - 1 = -\sqrt{3}$ $\sqrt{3} - 1 - 1 = -\sqrt{3}$ $\sqrt{3} - 2 = -\sqrt{3}$. Неверно! **Ответ: $2 + \sqrt{3}$** 4. $7\sqrt{x} - 2x + 15 = 0$ Пусть $\sqrt{x} = t$, тогда $x = t^2$ $7t - 2t^2 + 15 = 0$ $2t^2 - 7t - 15 = 0$ $D = (-7)^2 - 4 Imes 2 Imes (-15) = 49 + 120 = 169$ $t_1 = \frac{7 + \sqrt{169}}{4} = \frac{7 + 13}{4} = \frac{20}{4} = 5$ $t_2 = \frac{7 - \sqrt{169}}{4} = \frac{7 - 13}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$ Так как $\sqrt{x} = t$, то $t$ не может быть отрицательным, значит $t = 5$ $\sqrt{x} = 5$ $x = 25$ Проверяем: $7\sqrt{25} - 2(25) + 15 = 7 Imes 5 - 50 + 15 = 35 - 50 + 15 = 0$. Верно! **Ответ: 25** 5. $\sqrt{12 + x} - \sqrt{1 - x} = 1$ $\sqrt{12 + x} = 1 + \sqrt{1 - x}$ Возводим обе части в квадрат: $12 + x = 1 + 2\sqrt{1 - x} + 1 - x$ $12 + x = 2 + 2\sqrt{1 - x} - x$ $2\sqrt{1 - x} = 10 + 2x$ $\sqrt{1 - x} = 5 + x$ Возводим обе части в квадрат: $1 - x = 25 + 10x + x^2$ $x^2 + 11x + 24 = 0$ $D = 11^2 - 4 Imes 1 Imes 24 = 121 - 96 = 25$ $x_1 = \frac{-11 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-11 + 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$ $x_2 = \frac{-11 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-11 - 5}{2} = \frac{-16}{2} = -8$ Проверяем: Для $x_1 = -3$: $\sqrt{12 + (-3)} - \sqrt{1 - (-3)} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$. Верно! Для $x_2 = -8$: $\sqrt{12 + (-8)} - \sqrt{1 - (-8)} = \sqrt{4} - \sqrt{9} = 2 - 3 = -1$. Неверно! **Ответ: -3** 6. $\sqrt[3]{x + 8} = -1$ Возводим обе части в куб: $x + 8 = (-1)^3$ $x + 8 = -1$ $x = -9$ Проверяем: $\sqrt[3]{-9 + 8} = \sqrt[3]{-1} = -1$. Верно! **Ответ: -9** **2. Решите неравенства:** 1. $\sqrt{4x - 1} > 2$ Возводим обе части в квадрат (при условии $4x - 1 \geq 0$): $4x - 1 > 4$ $4x > 5$ $x > \frac{5}{4}$ Учитывая условие $4x - 1 \geq 0$, получаем $x \geq \frac{1}{4}$. **Ответ: $x > \frac{5}{4}$** 2. $\sqrt{4 - 2x} \leq 2$ Возводим обе части в квадрат (при условии $4 - 2x \geq 0$): $4 - 2x \leq 4$ $-2x \leq 0$ $x \geq 0$ Учитывая условие $4 - 2x \geq 0$, получаем $x \leq 2$. **Ответ: $0 \leq x \leq 2$** 3. $\sqrt{x + 1} \geq -4$ Квадратный корень всегда неотрицателен, поэтому неравенство выполняется для всех $x$, при которых корень существует. $x + 1 \geq 0$ $x \geq -1$ **Ответ: $x \geq -1$** 4. $\sqrt{3x + 8} < \sqrt{2 - 3x}$ Возводим обе части в квадрат (при условии $3x + 8 \geq 0$ и $2 - 3x \geq 0$): $3x + 8 < 2 - 3x$ $6x < -6$ $x < -1$ Учитывая условия $3x + 8 \geq 0$, получаем $x \geq -\frac{8}{3}$. Учитывая условие $2 - 3x \geq 0$, получаем $x \leq \frac{2}{3}$. **Ответ: $-\frac{8}{3} \leq x < -1$** 5. $\sqrt{14 - 5x} \leq 2 + x$ Возводим обе части в квадрат (при условии $14 - 5x \geq 0$): $14 - 5x \leq (2 + x)^2$ $14 - 5x \leq 4 + 4x + x^2$ $x^2 + 9x - 10 \geq 0$ Находим корни квадратного уравнения $x^2 + 9x - 10 = 0$: $D = 9^2 - 4 Imes 1 Imes (-10) = 81 + 40 = 121$ $x_1 = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-9 + 11}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $x_2 = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-9 - 11}{2} = \frac{-20}{2} = -10$ Решением неравенства является $x \leq -10$ или $x \geq 1$. Учитывая условие $14 - 5x \geq 0$, получаем $x \leq \frac{14}{5} = 2.8$. Учитывая условие $2 + x \geq 0$, получаем $x \geq -2$. **Ответ: $x \in [-2; -1] \cup [1; 2.8]$** 6. $\sqrt{x - 3} > x - 3$ Пусть $t = \sqrt{x - 3}$, тогда $t^2 = x - 3$. Неравенство принимает вид: $t > t^2$ $t^2 - t < 0$ $t(t - 1) < 0$ $0 < t < 1$ $0 < \sqrt{x - 3} < 1$ Возводим все части в квадрат: $0 < x - 3 < 1$ $3 < x < 4$ **Ответ: $3 < x < 4$** **3. Исследуйте функцию и постройте её график:** 1. $y = 3 - \sqrt{x + 1}$ * Область определения: $x + 1 \geq 0$, то есть $x \geq -1$ * Функция убывает на всей области определения. * График можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ сдвигом влево на 1, отражением относительно оси x, умножением на -1 и сдвигом вверх на 3. 2. $y = \frac{2 - x}{x + 4}$ * Область определения: $x \neq -4$ * Функция имеет вертикальную асимптоту при $x = -4$. * Функция имеет горизонтальную асимптоту при $y = -1$. * Пересечение с осью y: $y = \frac{2 - 0}{0 + 4} = \frac{1}{2}$ * Пересечение с осью x: $2 - x = 0$, то есть $x = 2$ :::div .chart-container @chart-1::: :::div .chart-container @chart-2:::