Реши уравнения и неравенства.

Привет! Давай решим эти уравнения и неравенства. 1. $25 + \sqrt{x} = 0$ $\sqrt{x} = -25$. Это уравнение не имеет решений, так как квадратный корень не может быть отрицательным. **Ответ: нет решений** 2. $\sqrt{5-x} = 4$ $5 - x = 16$ $x = 5 - 16$ $x = -11$ **Ответ: -11** 3. $\sqrt{2x} - 1 = x - 2$ $\sqrt{2x} = x - 1$ $2x = (x - 1)^2$ $2x = x^2 - 2x + 1$ $x^2 - 4x + 1 = 0$ $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$ Проверим корни: $x = 2 + \sqrt{3}: \sqrt{2(2 + \sqrt{3})} - 1 = 2 + \sqrt{3} - 2$, $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - 1 = \sqrt{3}$, $\sqrt{3 + 2\sqrt{3} + 1} - 1 = \sqrt{3}$, $\sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} - 1 = \sqrt{3}$, $\sqrt{3} + 1 - 1 = \sqrt{3}$, $\sqrt{3} = \sqrt{3}$ (верно) $x = 2 - \sqrt{3}: \sqrt{2(2 - \sqrt{3})} - 1 = 2 - \sqrt{3} - 2$, $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} - 1 = -\sqrt{3}$, $\sqrt{3 - 2\sqrt{3} + 1} - 1 = -\sqrt{3}$, $\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} - 1 = -\sqrt{3}$, $\sqrt{3} - 1 - 1 = -\sqrt{3}$, $\sqrt{3} - 2 = -\sqrt{3}$ (неверно) **Ответ: $2 + \sqrt{3}$** 4. $7\sqrt{x} - 2x + 15 = 0$ $2x - 7\sqrt{x} - 15 = 0$ Пусть $y = \sqrt{x}$, тогда $2y^2 - 7y - 15 = 0$ $y = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 120}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{169}}{4} = \frac{7 \pm 13}{4}$ $y_1 = \frac{7 + 13}{4} = 5$, $y_2 = \frac{7 - 13}{4} = -\frac{3}{2}$ Так как $y = \sqrt{x}$, то $y \geq 0$, значит, $y = 5$ $\sqrt{x} = 5$ $x = 25$ **Ответ: 25** 5. $\sqrt{12 + x} - \sqrt{1 - x} = 1$ $\sqrt{12 + x} = 1 + \sqrt{1 - x}$ $12 + x = 1 + 2\sqrt{1 - x} + 1 - x$ $12 + x = 2 + 2\sqrt{1 - x} - x$ $2\sqrt{1 - x} = 10 + 2x$ $\sqrt{1 - x} = 5 + x$ $1 - x = (5 + x)^2$ $1 - x = 25 + 10x + x^2$ $x^2 + 11x + 24 = 0$ $x = \frac{-11 \pm \sqrt{121 - 96}}{2} = \frac{-11 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-11 \pm 5}{2}$ $x_1 = \frac{-11 + 5}{2} = -3$, $x_2 = \frac{-11 - 5}{2} = -8$ Проверим корни: $x = -3: \sqrt{12 - 3} - \sqrt{1 - (-3)} = 1$, $\sqrt{9} - \sqrt{4} = 1$, $3 - 2 = 1$, $1 = 1$ (верно) $x = -8: \sqrt{12 - 8} - \sqrt{1 - (-8)} = 1$, $\sqrt{4} - \sqrt{9} = 1$, $2 - 3 = 1$, $-1 = 1$ (неверно) **Ответ: -3** 6. $\sqrt[3]{x+8} = -1$ $x + 8 = (-1)^3$ $x + 8 = -1$ $x = -9$ **Ответ: -9** Теперь решим неравенства: 1. $\sqrt{4x - 1} > 2$ $4x - 1 > 4$ $4x > 5$ $x > \frac{5}{4}$ Также, $4x - 1 \geq 0$, значит, $x \geq \frac{1}{4}$. **Ответ: $x > \frac{5}{4}$** 2. $\sqrt{4 - 2x} \leq 2$ $4 - 2x \leq 4$ $-2x \leq 0$ $x \geq 0$ Также, $4 - 2x \geq 0$, значит, $x \leq 2$. **Ответ: $0 \leq x \leq 2$** 3. $\sqrt{x + 1} \geq -4$ Так как квадратный корень всегда неотрицателен, это неравенство верно для всех $x$, при которых корень существует. $x + 1 \geq 0$, значит, $x \geq -1$. **Ответ: $x \geq -1$** 4. $\sqrt{3x + 8} < \sqrt{2 - 3x}$ $3x + 8 < 2 - 3x$ $6x < -6$ $x < -1$ Также, $3x + 8 \geq 0$ и $2 - 3x \geq 0$, значит, $x \geq -\frac{8}{3}$ и $x \leq \frac{2}{3}$. **Ответ: $-\frac{8}{3} \leq x < -1$** 5. $\sqrt{14 - 5x} \leq 2 + x$ $14 - 5x \leq (2 + x)^2$ $14 - 5x \leq 4 + 4x + x^2$ $x^2 + 9x - 10 \geq 0$ $(x + 10)(x - 1) \geq 0$ $x \leq -10$ или $x \geq 1$ Также, $14 - 5x \geq 0$, значит, $x \leq \frac{14}{5}$. И $2 + x \geq 0$, значит, $x \geq -2$. **Ответ: $-2 \leq x \leq \frac{14}{5}$** 6. $\sqrt{x - 3} > x - 3$ Пусть $y = \sqrt{x - 3}$, тогда $y > y^2$ $y^2 - y < 0$ $y(y - 1) < 0$ $0 < y < 1$ $0 < \sqrt{x - 3} < 1$ $0 < x - 3 < 1$ $3 < x < 4$ **Ответ: $3 < x < 4$** Надеюсь, это поможет тебе в учёбе!