Найди оптимальное число честно выполненных домашних заданий, при котором S максимально

Для решения этой задачи нам потребуется найти оптимальное количество честно выполненных домашних заданий, при котором итоговый средний балл $S$ будет максимальным. Обозначим количество честно выполненных заданий как $n$ (где $0 \le n \le 10$). Тогда количество списанных заданий будет $10 - n$. Уровень знаний $K_t$ увеличивается на 1 за каждое честно выполненное задание. Так как $K_1 = 0$, то после $n$ честно выполненных заданий уровень знаний будет равен $n$, то есть $K_{11} = n$. Оценка за честно выполненное задание: $H_t = 1.5 + 0.3K_t$. Оценка за списанное задание: $H_t = 4.5$. Тогда сумма оценок за все задания будет: $$ \sum_{t=1}^{10} H_t = n(1.5 + 0.3K_t) + (10 - n) \cdot 4.5 $$ Так как уровень знаний $K_t$ увеличивается на 1 с каждым честно выполненным заданием, можно записать: $$ \sum_{t=1}^{10} H_t = \sum_{i=1}^{n} (1.5 + 0.3(i-1)) + (10 - n) \cdot 4.5 $$ Теперь можно выразить итоговый средний балл $S$: $$ S = 0.4 \cdot \frac{\sum_{t=1}^{10} H_t}{10} + 0.6 \cdot E $$ где $E = \min(1 + 0.5K_{11}, 5) = \min(1 + 0.5n, 5)$. Чтобы найти максимальное значение $S$, нужно перебрать все возможные значения $n$ от 0 до 10 и выбрать то, при котором $S$ будет наибольшим. Рассмотрим два случая: 1. $n \le 8$. Тогда $E = 1 + 0.5n$. 2. $n > 8$. Тогда $E = 5$. Теперь нужно вычислить $S$ для каждого $n$ и выбрать максимальное значение. Например, для $n = 0$ (все задания списаны): $\sum_{t=1}^{10} H_t = 10 \cdot 4.5 = 45$ $E = 1 + 0.5 \cdot 0 = 1$ $S = 0.4 \cdot \frac{45}{10} + 0.6 \cdot 1 = 1.8 + 0.6 = 2.4$ Для $n = 10$ (все задания решены честно): $\sum_{t=1}^{10} H_t = \sum_{i=1}^{10} (1.5 + 0.3(i-1)) = 10 \cdot 1.5 + 0.3 \cdot \frac{9 \cdot 10}{2} = 15 + 13.5 = 28.5$ $E = \min(1 + 0.5 \cdot 10, 5) = 5$ $S = 0.4 \cdot \frac{28.5}{10} + 0.6 \cdot 5 = 1.14 + 3 = 4.14$ Перебрав все значения $n$ от 0 до 10, можно найти, что максимальное значение $S$ достигается при $n = 8$. В этом случае: $E = 1 + 0.5 \cdot 8 = 5$ $\sum_{t=1}^{10} H_t = \sum_{i=1}^{8} (1.5 + 0.3(i-1)) + 2 \cdot 4.5 = 8 \cdot 1.5 + 0.3 \cdot \frac{7 \cdot 8}{2} + 9 = 12 + 8.4 + 9 = 29.4$ $S = 0.4 \cdot \frac{29.4}{10} + 0.6 \cdot 5 = 1.176 + 3 = 4.176$ **Ответ: 8**