Упрости выражения, выполни действия и реши уравнение. Реши задачу, используя три этапа математического моделирования про квадрат.

1. Упрости выражения: a) $\frac{x^4 \cdot x^5}{x^2 \cdot x} = \frac{x^{4+5}}{x^{2+1}} = \frac{x^9}{x^3} = x^{9-3} = x^6$ б) $\frac{(k^2)^4 \cdot k^6}{k} = \frac{k^{2 \cdot 4} \cdot k^6}{k} = \frac{k^8 \cdot k^6}{k} = \frac{k^{8+6}}{k} = \frac{k^{14}}{k} = k^{14-1} = k^{13}$ в) $\frac{5x^4 \cdot 2x}{20x^8} = \frac{10x^{4+1}}{20x^8} = \frac{10x^5}{20x^8} = \frac{1}{2} \cdot x^{5-8} = \frac{1}{2} \cdot x^{-3} = \frac{1}{2x^3}$ 2. Выполни действия: $\frac{5 \cdot 4^6}{40^7} \cdot 4^2 = \frac{5 \cdot 4^6 \cdot 4^2}{40^7} = \frac{5 \cdot 4^{6+2}}{(5 \cdot 8)^7} = \frac{5 \cdot 4^8}{5^7 \cdot 8^7} = \frac{5 \cdot (2^2)^8}{5^7 \cdot (2^3)^7} = \frac{5 \cdot 2^{16}}{5^7 \cdot 2^{21}} = \frac{5}{5^7} \cdot \frac{2^{16}}{2^{21}} = 5^{1-7} \cdot 2^{16-21} = 5^{-6} \cdot 2^{-5} = \frac{1}{5^6} \cdot \frac{1}{2^5} = \frac{1}{15625} \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{500000}$ 3. Реши уравнение: $\frac{(4x^2)^3 \cdot (3x^2)^2}{(12x)^8 \cdot x^5} = \frac{27}{36}$ $\frac{4^3 \cdot (x^2)^3 \cdot 3^2 \cdot (x^2)^2}{12^8 \cdot x^8 \cdot x^5} = \frac{3}{4}$ $\frac{64 \cdot x^6 \cdot 9 \cdot x^4}{12^8 \cdot x^{13}} = \frac{3}{4}$ $\frac{576 \cdot x^{10}}{12^8 \cdot x^{13}} = \frac{3}{4}$ $\frac{576}{12^8 \cdot x^3} = \frac{3}{4}$ $x^3 = \frac{576 \cdot 4}{3 \cdot 12^8}$ $x^3 = \frac{192 \cdot 4}{12^8} = \frac{768}{12^8}$ $x = \sqrt[3]{\frac{768}{12^8}} = \sqrt[3]{\frac{2^8 \cdot 3}{2^{16} \cdot 3^8}} = \sqrt[3]{\frac{1}{2^8 \cdot 3^7}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^8 \cdot 3^7}} = \frac{1}{2^2 \cdot 3^2 \cdot \sqrt[3]{2^2 \cdot 3}} = \frac{1}{36 \cdot \sqrt[3]{12}}$ 4. Реши задачу: Пусть $a$ - сторона начального квадрата. Тогда его площадь равна $a^2$. После уменьшения стороны в 3 раза, новая сторона стала $\frac{a}{3}$, а новая площадь - $(\frac{a}{3})^2 = \frac{a^2}{9}$. Разница между начальной и уменьшенной площадью составляет 32 см²: $a^2 - \frac{a^2}{9} = 32$ $\frac{9a^2 - a^2}{9} = 32$ $\frac{8a^2}{9} = 32$ $8a^2 = 32 \cdot 9$ $a^2 = \frac{32 \cdot 9}{8} = 4 \cdot 9 = 36$ $a = \sqrt{36} = 6$ **Ответ: сторона начального квадрата равна 6 см.**