Найди углы треугольника KMO, если диагонали ромба KMNP пересекаются в точке O и ∠MNP = 80°.

1. Рассмотрим ромб $KMNP$. * $\angle KMN = \angle MNP = 80^{\circ}$ (противоположные углы ромба равны). * $\angle MKO = \frac{1}{2} \cdot \angle KMN = \frac{1}{2} \cdot 80^{\circ} = 40^{\circ}$ (диагональ ромба является биссектрисой его угла). * Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, следовательно, $\angle KOM = 90^{\circ}$. * $\angle KMO = 180^{\circ} - \angle MKO - \angle KOM = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 90^{\circ} = 50^{\circ}$. **Ответ:** $40^{\circ}$, $90^{\circ}$, $50^{\circ}$. 2. а) Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ и точку $M$ на стороне $BC$ такую, что $AB = BM$. * Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AB = CD$ и $BC = AD$. * $AB = BM$, следовательно, $\triangle ABM$ — равнобедренный. * $\angle BAM = \angle BMA$ (углы при основании равнобедренного треугольника). * $\angle ABM = 180^{\circ} - 2 \cdot \angle BAM$. * $\angle ABM + \angle BAD = 180^{\circ}$ (как внутренние односторонние углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AD$). * $180^{\circ} - 2 \cdot \angle BAM + \angle BAD = 180^{\circ}$. * $\angle BAD = 2 \cdot \angle BAM$, следовательно, $AM$ — биссектриса угла $BAD$. б) Найдем периметр параллелограмма $ABCD$, если $CD = 8$ см, $CM = 4$ см. * $BC = BM + MC = AB + MC = CD + MC = 8 + 4 = 12$ (см). * $P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (8 + 12) = 2 \cdot 20 = 40$ (см). **Ответ:** 40 см.