Докажи, что сторона MK параллельна BD, если вершины M и K равностороннего треугольника AMK принадлежат сторонам BC и CD квадрата ABCD.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Обозначим $BM = x$. Тогда, так как треугольник $AMK$ равносторонний, $MC = a - x$, $CK = x$, $DK = a - x$. Рассмотрим треугольники $ABM$ и $ADK$: $AB = AD = a$, $BM = DK = x$, $\angle ABM = \angle ADK = 90^{\circ}$. Следовательно, $\triangle ABM = \triangle ADK$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда $AM = AK$. Так как треугольник $AMK$ равносторонний, $AM = MK = AK$, то есть $AM = AK = MK$. Теперь найдем $AM$ и $MK$: 1) $AM = \sqrt{AB^2 + BM^2} = \sqrt{a^2 + x^2}$ (по теореме Пифагора из треугольника $ABM$). 2) $MK = \sqrt{MC^2 + CK^2} = \sqrt{(a-x)^2 + x^2} = \sqrt{a^2 - 2ax + x^2 + x^2} = \sqrt{a^2 - 2ax + 2x^2}$ (по теореме Пифагора из треугольника $MCK$). Так как $AM = MK$, то $\sqrt{a^2 + x^2} = \sqrt{a^2 - 2ax + 2x^2}$. Возведем обе части в квадрат: $a^2 + x^2 = a^2 - 2ax + 2x^2$. Приведем подобные слагаемые: $x^2 - 2ax = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 2a) = 0$. Тогда либо $x = 0$, либо $x = 2a$. $x = 0$ не подходит, так как тогда точки $M$ и $K$ совпадают с точками $B$ и $D$ соответственно, и треугольник $AMK$ не существует. $x = 2a$ не подходит, так как $x$ не может быть больше стороны квадрата. **Допущение:** Нужно доказать, что $MK \parallel BD$. Прямые параллельны, если углы, образованные этими прямыми и секущей, равны. Докажем, что $\angle CKM = \angle CDB = 45^{\circ}$. $\triangle CDK$: $\angle DCK = 90^{\circ}$, $CK = CD = a$. Следовательно, $\triangle CDK$ равнобедренный, а значит $\angle CDK = \angle CKM = (180^{\circ} - 90^{\circ}) / 2 = 45^{\circ}$. $\triangle CBD$: $\angle BCD = 90^{\circ}$, $BC = CD = a$. Следовательно, $\triangle CBD$ равнобедренный, а значит $\angle CDB = \angle CBD = (180^{\circ} - 90^{\circ}) / 2 = 45^{\circ}$. Так как $\angle CKM = \angle CDB = 45^{\circ}$, то $MK \parallel BD$. **Что и требовалось доказать.**