В правильной треугольной пирамиде со стороной основания 2√3, где боковая грань наклонена к основанию под углом 30°, найди боковое ребро и угол наклона ребра к плоскости основания.

Пусть $SABC$ — правильная треугольная пирамида, где $AB = BC = CA = 2\sqrt{3}$. Пусть $SO$ — высота пирамиды, а $SM$ — апофема боковой грани $BSC$. Угол между боковой гранью и основанием равен $\angle SMO = 30^\circ$. 1. Найдем $OM$. Так как $OM$ — радиус вписанной окружности в правильный треугольник $ABC$, то $$OM = \frac{AB}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1.$$ 2. Найдем $SM$ из прямоугольного треугольника $SOM$: $$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} \Rightarrow SO = OM \cdot \tan(\angle SMO) = 1 \cdot \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$ 3. Найдем $AM$. $AM$ — радиус описанной окружности, поэтому $$AM = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2.$$ 4. Найдем $SA$ из прямоугольного треугольника $SOA$: $$SA = \sqrt{SO^2 + AO^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{3}{9} + 4} = \sqrt{\frac{1}{3} + 4} = \sqrt{\frac{13}{3}} = \frac{\sqrt{39}}{3}.$$ Таким образом, боковое ребро равно $\frac{\sqrt{39}}{3}$. 5. Найдем угол наклона ребра к плоскости основания $\angle SAO$: $$\tan(\angle SAO) = \frac{SO}{AO} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6}.$$ $$\angle SAO = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right) \approx 16.1^\circ.$$ **Ответ:** Боковое ребро равно $\frac{\sqrt{39}}{3}$, угол наклона ребра к плоскости основания равен $\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right) \approx 16.1^\circ$.