В трапеции ABCD, где BC - меньшее основание и на отрезке AD взята точка E так, что BE || CD, ∠ABE = 70°, ∠BEA = 50°, найди углы трапеции. В прямоугольной трапеции с острым углом 45° и меньшей боковой стороной и основанием по 10 см, найди большее основание.

1. Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах трапеций и параллельных прямых. \begin{enumerate} \item Так как $BE \parallel CD$, то $\angle BEA$ и $\angle CDE$ являются соответственными углами, и они равны. Следовательно, $\angle CDE = 50^\circ$. \item В трапеции $ABCD$ углы при одном основании в сумме составляют $180^\circ$. Значит, $\angle ADC + \angle BCD = 180^\circ$. \item Также, $\angle ABE = 70^\circ$. Следовательно, $\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ$. \item Теперь рассмотрим треугольник $ABE$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle BAE = 180^\circ - \angle ABE - \angle BEA = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ$. \item $\angle BAD = \angle BAE = 60^\circ$. \item Угол $\angle BCD$ найдем из свойства трапеции: $\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ$. Чтобы найти $\angle ABC$, рассмотрим его как сумму $\angle ABE + \angle EBC$. Так как $BE \parallel CD$, то $\angle EBC = \angle BCE$ (накрест лежащие углы). Зная, что $\angle BEC + \angle ECD = 180^\circ$, можем найти $\angle EBC = \angle BCD - \angle ECD$. \end{enumerate} **Допущение:** $ABCD$ - равнобедренная трапеция. Тогда $\angle ABC = \angle BCD$ и $\angle DAB = \angle CDA$, следовательно $\angle ABC = 180 - 60 = 120^\circ$, $\angle BCD = 120^\circ$, $\angle CDA = 50^\circ$, $\angle DAB = 60^\circ$. 2. Рассмотрим прямоугольную трапецию $ABCD$, где $AB$ – меньшая боковая сторона, а $BC$ – меньшее основание. Угол $A$ прямой, а угол $D$ равен $45^\circ$. Проведем высоту $CH$ к основанию $AD$. \begin{enumerate} \item Так как $BC = 10$ см и $AB = 10$ см, то $CH$ также равен $10$ см (так как $ABCH$ – прямоугольник). \item В прямоугольном треугольнике $CHD$ угол $D$ равен $45^\circ$, значит, угол $HCD$ также равен $45^\circ$ (так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$). Следовательно, треугольник $CHD$ – равнобедренный, и $HD = CH = 10$ см. \item Тогда большее основание $AD = AH + HD = BC + HD = 10 + 10 = 20$ см. \end{enumerate} **Ответ:** $AD = 20$ см