Реши задачи по геометрии: 5. Найди sin∠ABC, если в прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 35, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 14√6; 6. Найди площадь треугольника ABC, если известно, что AB = 6, BC = 10, sin ∠ABC = 1/3; 7. Найди sinA, если косинус острого угла A треугольника ABC равен √21/5; 8. Найди cos∠ABC, если в треугольнике ABC известно, что AB = 8, BC = 10, AC = 12.

5. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AC = 35$, высота $CH$, опущенная на гипотенузу, равна $14\sqrt{6}$. Найдите $\sin \angle ABC$. $\sin \angle ABC = \frac{AC}{AB}$ Найдём $AB$ через теорему Пифагора для треугольника $ACH$: $AH = \sqrt{AC^2 - CH^2} = \sqrt{35^2 - (14\sqrt{6})^2} = \sqrt{1225 - 1176} = \sqrt{49} = 7$ Рассмотрим треугольник $ABC$ и высоту $CH$. Треугольники $ACH$ и $ABC$ подобны. Значит, $\frac{AH}{AC} = \frac{AC}{AB}$, откуда $AB = \frac{AC^2}{AH} = \frac{35^2}{7} = \frac{1225}{7} = 175$. $\sin \angle ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{35}{175} = \frac{1}{5} = 0.2$ **Ответ: 0.2** 6. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 6$, $BC = 10$, $\sin \angle ABC = \frac{1}{3}$. Найдите площадь треугольника $ABC$. Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin \gamma$, где $a$ и $b$ - стороны треугольника, а $\gamma$ - угол между ними. В нашем случае $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{3} = 10$ **Ответ: 10** 7. Косинус острого угла $A$ треугольника $ABC$ равен $\frac{\sqrt{21}}{5}$. Найдите $\sin A$. Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{21}}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{21}{25}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5} = 0.4$ **Ответ: 0.4** 8. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 8$, $BC = 10$, $AC = 12$. Найдите $\cos \angle ABC$. Теорема косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$ Отсюда $\cos \angle ABC = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{8^2 + 10^2 - 12^2}{2 \cdot 8 \cdot 10} = \frac{64 + 100 - 144}{160} = \frac{20}{160} = \frac{1}{8} = 0.125$ **Ответ: 0.125**