Докажи, что $BC = 2MN$; найди угол $km$, если угол $hk$ равен $120^\circ$, а угол $hm$ равен $150^\circ$; найди смежные углы, если один из них на $45^\circ$ больше другого.

80. Докажем, что $BC = 2MN$. Так как $M$ и $N$ - середины отрезков $AB$ и $AC$, то $AM = \frac{1}{2}AB$ и $AN = \frac{1}{2}AC$. $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$, соединяющая середины сторон $AB$ и $AC$. Тогда $MN = \frac{1}{2}BC$, следовательно, $BC = 2MN$. 81. Угол $km$ может быть равен $30^\circ$, $270^\circ$. Если углы $hk$ и $hm$ смежные, то $km = 30^\circ$, если нет, то $km = 270^\circ$. 82. а) Пусть один из углов равен $x$, тогда другой $x + 45^\circ$. Так как углы смежные, то их сумма равна $180^\circ$. $$x + x + 45^\circ = 180^\circ$$ $$2x = 135^\circ$$ $$x = 67,5^\circ$$ Тогда другой угол равен $67,5^\circ + 45^\circ = 112,5^\circ$. б) Пусть один из углов равен $x$, тогда другой $x + 35^\circ$. Так как углы смежные, то их сумма равна $180^\circ$. $$x - (180^\circ - x) = 35^\circ$$ $$2x = 215^\circ$$ $$x = 107,5^\circ$$ Тогда другой угол равен $180^\circ - 107,5^\circ = 72,5^\circ$. 83. Угол, образованный биссектрисами двух смежных углов, равен $90^\circ$. 84. Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой, потому что вертикальные углы равны, и биссектрисы делят их пополам. 85. Если биссектрисы углов $ABC$ и $CBD$ перпендикулярны, то точки $A$, $B$ и $D$ лежат на одной прямой. 86. Прямые $m$ и $n$ не совпадают, потому что через точку $A$ можно провести только одну прямую, перпендикулярную прямой $a$, и только одну прямую, перпендикулярную прямой $b$.