Реши уравнение, обозначив одну из взаимно обратных дробей через t, а другую через 1/t: (x²-4)/x + x/(x²-4) = 3 1/3

Привет! Сейчас помогу решить это уравнение. Пусть $\frac{x^2-4}{x} = t$, тогда $\frac{x}{x^2-4} = \frac{1}{t}$. Уравнение примет вид: $$t + \frac{1}{t} = 3\frac{1}{3}$$ $$t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}$$ Умножим обе части уравнения на $3t$ (чтобы избавиться от дробей): $$3t^2 + 3 = 10t$$ $$3t^2 - 10t + 3 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$$ $$t_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$$ $$t_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ Теперь возвращаемся к замене: 1) Если $t = 3$, то $\frac{x^2-4}{x} = 3$ $$x^2 - 4 = 3x$$ $$x^2 - 3x - 4 = 0$$ $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$ $$x_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ 2) Если $t = \frac{1}{3}$, то $\frac{x^2-4}{x} = \frac{1}{3}$ $$3(x^2 - 4) = x$$ $$3x^2 - 12 = x$$ $$3x^2 - x - 12 = 0$$ $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 1 + 144 = 145$$ $$x_3 = \frac{1 + \sqrt{145}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + \sqrt{145}}{6}$$ $$x_4 = \frac{1 - \sqrt{145}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - \sqrt{145}}{6}$$ **Ответ:** $x_1 = 4$, $x_2 = -1$, $x_3 = \frac{1 + \sqrt{145}}{6}$, $x_4 = \frac{1 - \sqrt{145}}{6}$