Научи меня выражать векторы в геометрии

Представь вектор как стрелку, соединяющую две точки. Чтобы выразить вектор, тебе нужно знать координаты начала и конца этой стрелки. 1. **Координаты:** Если начало вектора в точке $A(x_1, y_1)$, а конец в точке $B(x_2, y_2)$, то вектор $\vec{AB}$ можно выразить через координаты его проекций на оси координат: $$\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$$ Это значит, что вектор $\vec{AB}$ показывает, насколько нужно сдвинуться по оси $x$ (горизонтально) и по оси $y$ (вертикально), чтобы попасть из точки $A$ в точку $B$. 2. **Примеры:** * Пусть $A(1, 2)$ и $B(4, 6)$. Тогда $\vec{AB} = (4 - 1, 6 - 2) = (3, 4)$. Это значит, чтобы попасть из $A$ в $B$, нужно сдвинуться на 3 единицы вправо и на 4 единицы вверх. * Пусть $C(-2, 3)$ и $D(0, 1)$. Тогда $\vec{CD} = (0 - (-2), 1 - 3) = (2, -2)$. Это значит, чтобы попасть из $C$ в $D$, нужно сдвинуться на 2 единицы вправо и на 2 единицы вниз. 3. **Длина вектора:** Длина вектора (или его модуль) вычисляется по теореме Пифагора: $$|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ Например, для вектора $\vec{AB} = (3, 4)$ длина будет $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. 4. **Единичные векторы:** Векторы, длина которых равна 1, называются единичными. Их используют для указания направления осей координат. Например, $\vec{i} = (1, 0)$ — единичный вектор вдоль оси $x$, а $\vec{j} = (0, 1)$ — вдоль оси $y$. 5. **Выражение через единичные векторы:** Любой вектор можно выразить через единичные векторы: $$\vec{AB} = (x_2 - x_1)\vec{i} + (y_2 - y_1)\vec{j}$$ Например, вектор $\vec{AB} = (3, 4)$ можно записать как $\vec{AB} = 3\vec{i} + 4\vec{j}$.