В параллелограмме ABCD диагональ в два раза больше стороны AB и угол ACD=160°. Найди меньший угол между диагоналями параллелограмма

Пусть $AB = a$, тогда $AC = 2a$. 1. В параллелограмме противоположные стороны равны, значит, $CD = AB = a$. 2. Рассмотрим треугольник $ACD$. В нём $AC = 2a$, $CD = a$. Значит, $\angle CAD = \angle ADC$ (как углы, лежащие против равных сторон в равнобедренном треугольнике). 3. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Пусть $\angle CAD = x$. Тогда $\angle ADC = x$, и мы имеем уравнение: $x + x + 160^\circ = 180^\circ$. Отсюда $2x = 20^\circ$, и $x = 10^\circ$. 4. Итак, $\angle CAD = 10^\circ$. 5. Углы $CAD$ и $BCA$ являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$, следовательно, они равны. Значит, $\angle BCA = 10^\circ$. 6. $\angle BAC = \angle BAD - \angle CAD$. $\angle BAD$ и $\angle BCD$ - противоположные углы параллелограмма, значит, они равны. $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 10^\circ + 160^\circ = 170^\circ$. Следовательно, $\angle BAD = 170^\circ$. 7. $\angle BAC = 170^\circ - 10^\circ = 160^\circ$. 8. Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Мы знаем, что $\angle BCA = 10^\circ$ и $\angle BAC = 160^\circ$. Следовательно, $\angle ABC = 180^\circ - 160^\circ - 10^\circ = 10^\circ$. Обозначим точку пересечения диагоналей $O$. Рассмотрим треугольник $AOB$. В нём $\angle OAB = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{160^\circ}{2} = 80^\circ$, и $\angle OBA = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{10^\circ}{2} = 5^\circ$. Тогда угол $AOB = 180 - 80 - 5 = 95^\circ$. Смежный с ним угол равен $180 - 95 = 85^\circ$. **Ответ: 85°**