Реши систему уравнений: x² - y² = 5, xy = 6

Question

Вопрос:

Реши систему уравнений: x² - y² = 5, xy = 6

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Привет! Давай решим эту систему уравнений. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $$y = \frac{6}{x}$$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$x^2 - \left(\frac{6}{x}\right)^2 = 5$$ $$x^2 - \frac{36}{x^2} = 5$$ Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от дроби: $$x^4 - 36 = 5x^2$$ Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x^2$: $$x^4 - 5x^2 - 36 = 0$$ Пусть $t = x^2$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 5t - 36 = 0$$ Решим это квадратное уравнение. Дискриминант равен: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$$ Корни уравнения: $$t_1 = \frac{5 + \sqrt{169}}{2} = \frac{5 + 13}{2} = 9$$ $$t_2 = \frac{5 - \sqrt{169}}{2} = \frac{5 - 13}{2} = -4$$ Так как $t = x^2$, то $x^2$ не может быть отрицательным, поэтому $t_2 = -4$ не подходит. Тогда $x^2 = 9$, следовательно, $x = \pm 3$. Теперь найдём соответствующие значения $y$: Если $x = 3$, то $y = \frac{6}{3} = 2$. Если $x = -3$, то $y = \frac{6}{-3} = -2$. **Ответ: (3; 2), (-3; -2)**

Реши систему уравнений: x² - y² = 5, xy = 6

Ответ ассистента

Другие решения